8. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ЖИДКОСТЬ, ПО ОТНОШЕНИЮ К КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ ПЕРЕМЕННЫХ
Когда идеальная или вязкая жидкость частично или целиком заполняет полость гела, а о характере движения жидкости никаких гипотез не делается (кроме естественных предположений о непрерывности и сплошности движения жидкости), задача об устойчивветн движения представляет большие трудности.
Однакв и в этих случаях можно свести задачу об устойчивости движения твердого тела с жидкостью к задаче об устойчивости по отношению к конечному числу переменных.
В зависимости от характера задачи можно ввести в рассмотрение величины вида
интегральным образом характеризующие движение жидкости в полости. Здесь — некоторые вещественные непрерывные ограниченные функции координат 
и проекций 
скоростей частип жидкости. За величины 
можно принять, например, проекции количества движения и момента количеств движения жидкости и т. п. При введении таких величин задачу об устойчивости движения твердого тела с жидкостью можно ставить как задачу устойчивости по отношению к переменным 
характеризующим движение твердого тела, и к величинам, интегральным образом характеризующим движение жидкости. При таком подходе для решения задачи устойчивости можно использовать методы, разработанные для систем с конечным числом степеней свободы, в особенности метод функций Ляпунова [32].
Пример [13]. Пусть твердое тело с полостью, целиком заполненной жидкостью, движется вокруг неподвижной точки О в поле сил с силовой функцией 
Для простоты предположим, что для точки О главные оси инерции тела и жидкости совпадают. Обозначим через 
моменты инерции относительно осей х соответственно твердого тела, жидкости и всей системы Уравнения движения (4) — (6) с граничным условием (7) допускают частное решение
описывающее равномерное вращепневокруг оси хсовмещенной с осью хсистемы как одного твердого тела. Здесь 
— проекции на оси х орта оси х.
Исследуем устойчивость движения 162) по отношению к величинам 
где функции 
определяются равенствами 
Уравнения движения допускают энергетическое соотношение вида (18)
и первые интегралы
В окрестности невозмущениого движения (62) функция
при выполнении условия
является положительно определенной по отношению к 
ее производная по времени согласно уравнениям возмущенного движения 
Следовательно, при условии (63) функция V удовлетворяет всем условиям теоремы об устойчивости по части переменных, что и доказывает устойчивость невозмущенного движения (62) твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, по отношению к указанным выше величинам.
Отметим, что изложенным методом в работе [5] решена задача об устойчивости относительного равновесия на круговой орбите свободного твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, притягиваемого неподвижным центром
по закону Ньютона, а в работе [20] — аналогичная задача для случая двух неподвижных притягивающих центров. Этот метод был использован также в работах 
при исследовании устойчивости установившихся движений для некоторых других задач динамики твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью.
