4. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1. Идеальный ротор. Координата есть угол, постоянный момент инерции ротора относительно оси вращения, Простейшее уравнение движения ротора имеет общее ротационное решение жестко анизохронного типа

2. Физический маятник. Уравнение движения неуравновешенного тела, вращающегося около горизонтальной оси, имеет вид

где соответственно момент инерции, масса и эксцентриситет маятника; ускорение свободного падения; координата, имеющая смысл угла поворота. Маятник имеет положения равновесия: устойчивое и неустойчивое Неустойчивому

положению равновесия соответствует значение постоянной энергии

Соответственно в диапазоне существуют мягко анизохронные либрации, для которых уравнение скелетной кривой и выражение для углового полуразмаха имеют вид

где полный эллиптический интеграл 1-го рода [5]

При реализуются жестко анизохронные ротации, уравнение скелетной кривой которых

При существует лимитациониое движение.

3. Конический маятник — физический маятник во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе координат. Уравнение движения конического маятника

где момент инерции маятника относительно центральной оси, проходящей через центр вращения

Если безразмерный параметр

и, следовательно, угловая скорость относительно мала, существуют два положения равновесия маятника: устойчивое когда значение безразмерной постоянной энергии

и неустойчивое когда Соответственно при существуют жестко аиизохрониые ротации, для которых

Наоборот, при реализуются мягко анизохронные либрации, для которых

Эти либрацин симметричны относительно положения устойчивого равновесия, а их угловой полуразмах

При увеличении угловой скорости V, когда точка становится неустойчивой, но появляются отличающиеся одно от другого знаком два устойчивых положения равновесия

В появившемся энергетическом диапазоне реализуется пара мягко анизохронных асимметричных либраций, отличающихся одна от другой знаком величины уравнения скелетных кривых для этих движений совпадают с уравнением (30). Колебания происходят в пределах где

При по-прежнему существуют симметричные либрации и жестко анизохронные ротации, для которых справедливы соответственно соотношения (31) и (30)

Но в окрестности точки симметричные либрации становятся жестко анизохроннымн Это означает что внутри диапазона существует неособая точка смены типа зохронизма

4 Осцилляторы с нелинейной восстанавливающей силой. Уравнение движения таких осцилляторов имеет вид

где постоянная масса осциллятора восстанавливающая сила нелинейной симметричной пружины

Все движения в таких системах представляют собой периодические анизохроииые либрации, характер которых полиостью определяется видом функции Поэтому в случае жесткого (мягкого) анихронизма можно говорить об осцилляторе с жесткой (мягкой) характеристикой Ниже рассматривается несколько характерных частных случаев А Сила имеет вид ломаной с тремя прямолинейными участками,

Уравнение скелетной кривой и выражение для полуразмаха периодических либраций осципляторл имеют вид

Соотношения (38) можно истолковать как параметрическое задание зависимости амплитуды колебаний от их частоты Бесконечному диапазону изменения энергии в данном случае соответствует конечный диапазон изменения частоты

При этом в интервале осциллятор ведет себя как изохронный, линейный При осциллятор жестко аиизохронный, если и мягко аинзохроиный, если Сила определяется параболической зависимостью степени

Соотношения, аналогичные (38), в этом случае имеют вид

где гамма функция [5] Диапазон изменения частоты рассматриваемого осциллятора в отличие от предыдущего бесконечен причем, если то его либрации жестко ашпохрониы, а если мягко анизохрониы

В Восстанавливающая сила изменяется по закону (осциллятор Дуффинга)

При все движения осциллятора — жестко анизохронные либрации Уравнение скелетной кривой в параметрической форме

Если то появляются две точки неустойчивого равновесия —которым соответствует значение постоянной эяергии

В энергетическом диапазоне

существуют мягко анизохронные либрации, для которых справедливы формулы (42) Более удобна при этом следующая явная вещественная форма записи первого соотношения (42)

При движение осциллятора является соответственно лимнтационным и убегающим

Г. Восстанавливающая сила нелинейных осцилляторов с зазором в общем случае

где — величина зазора, удовлетворяющая условиям (36) восстанавливающая сила осцилчягора без зазора Уравнение скелетной кривой осциллятора с зазором

где скелетная кривая осциллятора без зазора