5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЧЕРЕЗ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ

Взаимодействие одного и того же источника энергии с разными колебательными системами описывается различными уравнениями движения. Поэтому уравнения движения при рассмотрении каждой новой колебательной системы нужно интегрировать заново. Однако в ряде случаев задача упрощается, если использовать специальную форму уравнений.

В источнике возбуждения независимо от того, с какой колебательной системой он связан, можно выделить элементы, на которые непосредственно действуют создаваемые источником механические силы. Такие элементы должны быть механически связаны («скреплены») с колебательной системой и в этом смысле составлять ее часть; например, их масса в уравнениях движения колебательной системы учитывается наряду с массой прочих входящих в нее тел. С другой стороны, элементы, воспринимающие нагрузку, составляют неизменную часть источника возбуждения. Движение элементов, воспринимающих усилия, влияет на процессы в возбудителе. Этим определяется обратное влияние колебательной системы на источник возбуждения. Если движение указанных элементов известно, то процессы в источнике возбуждения могут быть определены, причем для их определения не нужно знать движение остальных элементов колебательной системы.

Например, элементом инерционного возбудителя, воспринимающим силу, является вал ротора. Если колебания этого вала известны, то по уравнению можно вычислить угловую скорость двигателя.

Поэтому удобно записывать уравнения движения источника возбуждения так, чтобы в них входили не координаты колебательной системы, а переменные имеющие смысл перемещений или углов поворота элементов, воспринимающих усилия. Пусть — вектор обобщенных коордииаг, соответствующих колебательной системе, вектор обобщенных координат возбудителя и вектор с компонентами Кинетический потенциал системы (функция Лагранжа)

где -соответственно кинетическая и потенциальная энергии.

Для каждой заданной колебательной системы переменные могут быть выражены через компоненты вектора Если колебательная система линейная, а ее параметры постоянные, то должны быть линейными функциями координат и, следовательно, могут быть представлены скалярными произведениями вида

где постоянные векторы; — транспонированным вектор, вектор-строка.

Векторы можно определить лишь после того, как задана колебательная система; кроме того, они зависят от способа введения обобщенных координат.

Уравнения Ланграижа 2-го рода для системы с кинетическим потенциалом, заданным соотношением (23), имеют вид

где описывает непотенциальные силы в источнике возбуждения; заданные немеханические воздействия (в случае немеханических процессов в возбудителе);

Из равенств (27) следует, что векторы описывают распределение сил, создаваемых источником возбуждения, по колебательной системе, а коэффициенты перед определяют величину сил. При записи условия предполагается, как обычно в теории линейных упругих систем, что вынуждающие силы отнесены к недеформированной колебательной системе.

Вид уравнений (25), (27), записанных через не зависит от вида колебательной системы Это позволяет в ряде случаев получить результаты, справедливые для произвольной линейной колебательной системы. С другой стороны, имея уравнения (25) и соотношения (27) для каждой конкретной колебательной системы, можно составить уравнения, записанные обычным образом, через обобщенные координаты Для этого нужно найти выразить через согласно (24), внести результат вычислений в (25), (27) и выписать уравнения (26).

Например, для инерционного возбудителя уравнения (25), (26) составляются следующим образом. Пусть колебательная система находится в положении статического равновесия Введем неподвижную декарюву систему так, чтобы оси лежали в плоскости вращения ротора, а начало на оси вращения; в остальном ориентация осей безразлична. Тогда

где угол между осью и осью, проведенной через центр тяжести ротора и точку, перемещения точки О соответственно вдоль осей масса ротора; эксцентриситет; — момент инерции ротора (с учетом момента инерции ротора электродвигателя). Перемещения точки О вдоль оси и повороты вала (кроме угла в технических задачах можно не учитывать. Механический смысл величин не зависит от вида колебательной системы, с которой связан неуравновешенный ротор

Уравнение вращения ротора запишем в виде

Силы, действующие на колебательную систему со стороны ротора,

где отброшены члены, содержащие как не влияющие на решение первого приближения.

Векторы в случае инерционного возбудителя описывают нагрузки в виде единичных сосредоточенных сил, направленных соответственно но осям и приложенных в точке О.

Уравнения (26) и (29) вместе с соотношениями (30) описывают взаимодействие инерционного возбудителя с линейной колебательной системой произвольного вида. Для одномассной системы вектор имеет одну компоненту и указанные уравнения переходят в (8).

Основываясь на записи уравнений с помощью переменных в ряде случаев можно выразить решение нелинейной задачи о взаимодействии через обобщенные характеристики колебательной системы — гармонические коэффициенты влияния и фазовые сдвиги Это позволяет использовать полученное решение для определения колебаний, возбуждаемых одним и тем же возбудителем в различных колебательных системах. Для каждой конкретной колебательной системы нужно только предварительно найти коэффициенты влияния и фазовые сдвиги из решения линейной задачи о вынужденных колебаниях и внести их в решение нелинейной задачи.

Рассмотрим представление решения через коэффициенты влияния на примере задачи об инерционном возбудителе, В нерезонансном случае уравнения движения с малым параметром, введенным, как в п. 2, имеют вид

После введения нового аргумента и новой неизвестной функции уравнения (31) переходят в систему с одной медленной переменной и многими быстрыми переменными — компонентами вектора Асимптотический метод интегрирования таких систем разработан В М. Волосовым Существенный интерес представляет определение закона изменения частоты в переходном процессе В первом приближении частота по методу В. М. Волосова находится из решения уравнения

где функции частоты имеющие следующий механический смысл. Пусть ротор не вращается, а к колебательной системе в точке О вдоль оси приложена гармоническая сила с частотой и единичной амплитудой. Амплитуда перемещения точки О в направлении оси при установившихся вынужденных колебаниях системы под действием этой силы равна величине а угол сдвига фаз между колебаниями точки О вдоль и силой — углу Аналогично определяются величины рассмотрении перемещений точки О по оси под действием силы, направленной по этой же оси.

Иным способом уравнения типа (32) получены в гл IX.

В уравнении (32) переменные разделяются, и его решение находится в квадратурах. При периодических колебаниях (которые могут быть определены также методом Пуанкаре) частоту определяют из уравнения

Можно принять, что угол поворота ротора, определяемый с точностью до произвольной фазы, Тогда законы изменения во времени перемещений с точностью до величии высшего порядка малости будут вычисляться по формулам

где коэффициент влияния и фазовый сдвиг, определяемые из рассмотрения перемещений точки О вдоль под действием силы, направленной по Справедливы соотношения где определяются из рассмотрения колебаний вдоль при силе, действующей по оси

Условие устойчивости периодического режима имеет вид (6), но следует взять из (33). При

и из (33), (34) получаются соотношения для одномассной колебательной системы, приведенные в п. 2.

Чтобы исследовать взаимодействие инерционного возбудителя с какой-либо другой колебательной системой, следует найти для нее величины как функции и внести их в (32) — (34) Эти величины можно определить и для колебательных систем с распределенными параметрами, так что полученными выше соотношениями можно пользоваться, когда возбуждаются вибрации балки, пластины, оболочки, строительных конструкций и т. п.