Влияние сил высокой частоты на устойчивость упругих систем.

Приведем результат, полученный В. Н. Челомеем (1956 г.) при рассмотрении влияния продольных периодических сил высокой частоты на устойчивость упругой системы [74].

Для обширного класса упругих систем, находящихся под воздействием продольных периодических сил вида

где

дифференциальное уравнение колебаний в линейном приближении может быть записано в виде

Здесь — линейные дифференциальные операторы, содержащие производные по координатным переменным; перемещение; масса единицы длины. Разыскивая решение этого уравнения в виде

где функция координат системы, получаем для функции времени следующее приближенное дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом:

Здесь частота собственных колебаний несжатой системы; критическая статическая сила; коэффициент линейного демпфирования; -Это уравнение определяет динамическую устойчивость системы.

Пусть выполняется условие Тогда, применяя к уравнению (131) метод разделения движения на медленное и быстрое и используя прием усреднения Н. Н. Боголюбова, В. Н. Челомей получил уравнение с постоянными коэффициентами

Из анализа уравнения (132) следует, что исследуемая система в среднем совершает затухающие колебания с повышенной собственной частотой, и, следовательно, пульсации внешней силы как бы повышают жесткость системы; при (в этом случае система остается устойчивой, если При система также остается устойчивой, если выполняется условие

Из раскрытой В. Н. Челомеем динамической аналогии между явлением в упругих системах и рассмотренным Н. Н. Боголюбовым движением маятника с пульсирующей осью подвеса [дифференциальное уравнение движения стержня, возбуждаемого на конце продольной составляющей центробежной силы вращающейся массы (131) в точности совпадает с уравнением малых колебаний маятника с пульсирующей осью (129)] следует, что те же по природе динамические силы, которые заставляют маятник устойчиво стоять в перевернутом положении, превращают статически неустойчивый стержень в динамически устойчивую систему. В. Н. Челомей установил принципиальную возможность повышения устойчивости упругих систем с помощью вибраций — для повышения статической устойчивости упругой системы ей следует сообщить малые, но достаточно быстрые продольные колебания.

Эти результаты распространены В. Н. Челомеем и на более сложный случай

исследования динамической устойчивости нелинейных упругих систем, когда дифференциальное уравнение для имеет вид

где нелинейные функции в — малый параметр [74].

В этом случае дифференциальное уравнение для медленных движений приобретает вид