9. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ

О частотных методах исследования устойчивости.

Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем.

Указанная задача, в свою очередь, сводится к изучению знаков вещественных частей корней некоторого алгебраическою уравнения, называемого характеристическим или частотным уравнешем,

Классический способ решения этой последней задачи состоит в использовании известного критерия Рауса-Гурвица, однако во многих случаях для инженерных расчетов оказываются более удобными частотные методы, поскольку используемая при этом частотная характеристика инвариантна относительно неособенного линейного преобразования системы и легко определяется экспериментально. Соответствующие критерии устойчивости, в частности наиболее известные критерии Найквиста и Михайлова, изложены в справочника; там же рассмотрен эффективный метод выделения областей устойчивости в пространстве параметров системы, предложенный Ю. И. Неймарком и известный под названием -разбиения; более подробные сведения можно найти в книге [45].

Рис. 25

Существуют, однако, задачи, приводящие к исследованию характера решений существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, причем интерес представляет поведение системы при любых начальных возмущениях и при любом характере нелинейности, подчиненной некоторым ограничениям. Устойчивость движения при этих условиях получила название абсолютной устойчивости [37].

Некоторый практически важный класс задач об абсолютной устойчивости также допускает эффективное решение посредством частотных методов; существенные результаты здесь принадлежат В. М. Попову 151],

Критерий В. М. Попова.

Сформулируем задачу абсолютной устойчивости для системы автоматического управления с одной нелинейностью [51]. Рассмотрим систему

где -мерный вектор; и -мерные векторы; А — постоянная матрица штрих обозначает переход к транспонированной величине; скалярная величина; непрерывная функция (функция управления), определенная для всех вещественных и удовлетворяющая условию

Тогда согласно (151) система (149) — (150) имеет тривиальное решение Кроме того, при указанных условиях система (149)-(150) имеет по крайней мере одно решение при любом начальном условии

Будем искать условия, при которых все решения системы (149)-(150) ограничены и тривиальное решение устойчиво по Ляпунову при любой функции из указанного класса. Если эти условия выполняются, то тривиальное решение системы абсолютно устойчиво для определенного семейства функций

Когда тривиальное решение абсолютно устойчиво и, кроме того, все решения рассматриваемой системы удовлетворяют условию тривиальное решение асимптотически абсолютно устойчиво.

Задача абсолютной устойчивости имеет различные варианты в зависимости от условий, наложенных на функцию Часто используемое условие состоит в том, чтобы график функции был заключен в секторе (рис. 25), что имеет место при выполнении неравенств

где две постоянные, причем

абсолютной устойчивости системы при условии (152) сразу следует устойчивость тривиального решения любой системы вида

где любая постоянная, удовлетворяющая неравенствам

Условие (152) можно обобщить, требуя, чтобы точка лежала для всех и 111 четвертях, т. е. выполнялось неравенство

Следует ожидать, что в случае кратковременного невыполнения условия (153) и выполнения в остальные моменты времени устойчивость сохранится. Это позволяет заменить условие (153) требованием, чтобы оно выполнялось лишь в среднем, а не в любой момент что приводит к интегральному неравенству

Если при изучении семейства систем, определенного условием (152) или условием при возникло понятие абсолютной устойчивости, то рассмотрение семейства систем, описанного условием (154), приводит к новому понятию устойчивости — гиперустойчивости.

В качестве естественного обобщения можно сформулировать понятие гиперустойчивости для любой совокупности дифференциального уравнения и интегрального соотношения, которые могут иметь более общую форму по сравнению, например, с (154).

Рассмотрим системы типа выделенные условием (152). Для этих систем можно привести ряд достаточных условий абсолютной устойчивости и асимптотически абсолютной устойчивости, использующих частотные характеристики.

В частности, системы типа при выполнении (152) абсолютно устойчивы, если выполняются три условия.

A. Существует такое число из промежутка при котором тривиальное решение системы асимптотически устойчиво для линейной функции

Б. Существует такое вещественное число при котором выполняется неравенство

при любом вещественном причем где

B. Левая часть неравенства (155) не тождественна нулю, или (более общий случай) соответствующая характеристическая функция, определяемая соотношениями

при не тождественна нулю.

Системы типа при выполнении (152) асимптотически абсолютно устойчивы, если наряду с выполняется одно из приведенных ниже условий.

1. Полином

не обращается в нуль ни при одном вещественном значении

2. Полином обращается в нуль при и не обращается в нуль ни при каком другом вещественном значении Но существует промежуток в котором система при условии (152) не имеет решений вида

3. Полином обращается в нуль только при Но не существует ни одного числа из промежутка при котором система имела бы решение вида (156).

4. Выполняются вместо условий (152) строгие неравенства при всех