14. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АВМ. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Численные методы решения дифференциальных уравнений теории колебаний являются мощным аппаратом исследования благодаря широким возможностям применения для их реализации ЦВМ Для ряда дифференциальных уравнений удобно при их решении использовать аналоговые вычислительные машины (АВМ) и гибридные вычислительные машины (ГВМ) [66],

Преимущество АВМ - большое быстродействие по сравнению с ЦВМ, что позволяет решать на них задачи с быстроизменяющимися во времени величинами в реальном масштабе времени. Однако АВМ по сравнению с ЦВМ обладают меньшей точностью и малой универсальностью в определенной степени лишены недостатков, свойственных ЦВМ и АВМ, и обл ъчают их преимуществами. Наиболее распространенные серийные АВМ (МН-7М, МН-10М, МН-14, МН-17М, МПТ-9, ЭМУ-10) предназначены для решения задачи Коши [47, 66].

В последнее время созданы приспособления к АВМ и специализированные аналоговые, аналогово-цифровые вычислительные машины, позволяющие решать краевые задачи.

Краевые задачи можно решать на машинах типа «Итератор-1», «Аркус-1» [19, 57] и на аналогово-цифровых комплексах типа

На рис. 31 приведена одна из возможных структурных схем отыскания периодического решения системы линейных дифференциальных уравнений вида

с периодическими периода коэффициентами с помощью «Итератора-1» (А — матрица -мерный вектор).

Первым шагом решения задачи является самонастройка Алгоритм самонастройки, реализованный в «Итераторе-1», осуществляется путем решения на задач

Коши для системы уравнений (203), в результате чего определяются столбцы матрицы О. Затем решается на АВМ задача Кошл (203) при начальных значениях По полученной невязке в блоке уточнения начальных значений вносится поправка в вектор начальных значений и определяется новый вектор начальных значений Этот цикл повторяется до тех пор пока невязка не станет меньше наперед заданной величины.

Периодическую краевую задачу «Итератор-1» позволяет решать для линейной системы с периодическими коэффициентами порядка не выше четырех а «Аркус-1» — систему линейных и нелинейных дифференциальных уравнений того же порядка, содержащих в нелинейном случае не более 8 нелинейных функций. допускает более высокие порядки решаемых систем уравнений

Рис. 31

Численно-аналитические методы отыскания периодических решений. Изложим два метода построения периодических решений системы дифференциальных уравнений

правые части которых периодичны по с периодом Эти методы дают аналитическое представление периодического решения при использовании численных схем определения некоторых его параметров (начальное значение периодического решения, коэффициенты его гармонического разложения). Их называют численно-аналитическими методами [61].

Метод последовательных периодических приближений. Пусть требуется найти периодическое периода решение системы дифференциальных уравнений (204) Предположим, что это решение существует и принимает при значение При построении искомого решения рассматриваемым методом приближения к решению определяются рекуррентным соотношением

Каждое из приближений представляет собой периодическую периода функцию, и при достаточно общих предположениях относительно правой части системы (203) последовательность приближений равномерно сходится к периодическому решению

Достаточные условия существования приближений (205) и справедливости равенства (206):

1) функция периодическая, непрерывная, ограниченная постоянной и удовлетворяет по переменной х условию Липшица с постоянной

2) выполняется неравенство а

3) точка принадлежит области вместе со своей -окрестностью.

Более того, условия 1—3 гарантируют существование приближений (205) и равномерную сходимость их к некоторой периодической периода функции

Предельная функция является периодическим решением системы уравнений (204) тогда и только тогда, когда постоянная

равна нулю.

Задачу приближенного отыскания начального значения периодического решения можно решать численным методом одновременно с вычислением функции путем определения корней уравнения

При общих предположениях справедливо предельное соотношение позволяющее решать одновременно задачи существования и приближенного построения периодического решения системы уравнений (204) методом последовательных периодических приближений.

В частности, для системы уравнений стандартного вида

где -функция, удовлетворяющая условию 1; малый положительный параметр, периодическое решение существует и определяется с точностью до величин порядка выражением

здесь корень уравнения

такой, что

Заметим, что вычисления по схеме (205) сводятся к элементарным операциям, когда функция есть полином относительно переменной х и тригонометрический полином относительно Если исходная функция имеет другой вид, то ее следует предварительно аппроксимировать с достаточной степенью точности функцией указанного вида,

Метод тригонометрической коллокации удобен для реализации на ЦВМ при отыскании периодического решения системы уравнений (204),

удовлетворяющей условию 1. Согласно этому методу периодическое периода решение ищется в виде тригонометрического полинома

неизвестные коэффициенты которого находятся из условия точного удовлетворения дифференциальному уравнению (204) в выбранных точках

Согласно методу для определения коэффициентов получаем систему алгебраических уравнений

Выбор в качестве узлов коллокации равноотстоящих точек обеспечивает сходимость метода тригонометрической коллокации.

При достаточно большом система алгебраических уравнений (207) разрешима и дает хорошее приближение к периодическому решению всякий раз, когда система дифференциальных уравнений (204) имеет изолированное периодическое периода решение и это решение обладает довольно общим характером устойчивости

На практике для решения системы уравнений (207) применяются приближенные методы, в частности метод последовательных приближений (простой итерации), метод Ньютона, различные варианты метода продолжения решения по параметру.

В работе [61] проведена формализация процесса получения и решения системы алгебраических уравнений (207) методом тригонометрической коллокации. Полученные с его помощью вычислительные схемы приспособлены также для вычисления на ЦВМ приближенного периодического решения методом последовательных периодических приближений, что значительно расширяет сферу применимости метода.