Главная > Вибрации в технике, Т. 2. Колебания нелинейных механических систем
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

14. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АВМ. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Численные методы решения дифференциальных уравнений теории колебаний являются мощным аппаратом исследования благодаря широким возможностям применения для их реализации ЦВМ Для ряда дифференциальных уравнений удобно при их решении использовать аналоговые вычислительные машины (АВМ) и гибридные вычислительные машины (ГВМ) [66],

Преимущество АВМ - большое быстродействие по сравнению с ЦВМ, что позволяет решать на них задачи с быстроизменяющимися во времени величинами в реальном масштабе времени. Однако АВМ по сравнению с ЦВМ обладают меньшей точностью и малой универсальностью в определенной степени лишены недостатков, свойственных ЦВМ и АВМ, и обл ъчают их преимуществами. Наиболее распространенные серийные АВМ (МН-7М, МН-10М, МН-14, МН-17М, МПТ-9, ЭМУ-10) предназначены для решения задачи Коши [47, 66].

В последнее время созданы приспособления к АВМ и специализированные аналоговые, аналогово-цифровые вычислительные машины, позволяющие решать краевые задачи.

Краевые задачи можно решать на машинах типа «Итератор-1», «Аркус-1» [19, 57] и на аналогово-цифровых комплексах типа

На рис. 31 приведена одна из возможных структурных схем отыскания периодического решения системы линейных дифференциальных уравнений вида

с периодическими периода коэффициентами с помощью «Итератора-1» (А — матрица -мерный вектор).

Первым шагом решения задачи является самонастройка Алгоритм самонастройки, реализованный в «Итераторе-1», осуществляется путем решения на задач

Коши для системы уравнений (203), в результате чего определяются столбцы матрицы О. Затем решается на АВМ задача Кошл (203) при начальных значениях По полученной невязке в блоке уточнения начальных значений вносится поправка в вектор начальных значений и определяется новый вектор начальных значений Этот цикл повторяется до тех пор пока невязка не станет меньше наперед заданной величины.

Периодическую краевую задачу «Итератор-1» позволяет решать для линейной системы с периодическими коэффициентами порядка не выше четырех а «Аркус-1» — систему линейных и нелинейных дифференциальных уравнений того же порядка, содержащих в нелинейном случае не более 8 нелинейных функций. допускает более высокие порядки решаемых систем уравнений

Рис. 31

Численно-аналитические методы отыскания периодических решений. Изложим два метода построения периодических решений системы дифференциальных уравнений

правые части которых периодичны по с периодом Эти методы дают аналитическое представление периодического решения при использовании численных схем определения некоторых его параметров (начальное значение периодического решения, коэффициенты его гармонического разложения). Их называют численно-аналитическими методами [61].

Метод последовательных периодических приближений. Пусть требуется найти периодическое периода решение системы дифференциальных уравнений (204) Предположим, что это решение существует и принимает при значение При построении искомого решения рассматриваемым методом приближения к решению определяются рекуррентным соотношением

Каждое из приближений представляет собой периодическую периода функцию, и при достаточно общих предположениях относительно правой части системы (203) последовательность приближений равномерно сходится к периодическому решению

Достаточные условия существования приближений (205) и справедливости равенства (206):

1) функция периодическая, непрерывная, ограниченная постоянной и удовлетворяет по переменной х условию Липшица с постоянной

2) выполняется неравенство а

3) точка принадлежит области вместе со своей -окрестностью.

Более того, условия 1—3 гарантируют существование приближений (205) и равномерную сходимость их к некоторой периодической периода функции

Предельная функция является периодическим решением системы уравнений (204) тогда и только тогда, когда постоянная

равна нулю.

Задачу приближенного отыскания начального значения периодического решения можно решать численным методом одновременно с вычислением функции путем определения корней уравнения

При общих предположениях справедливо предельное соотношение позволяющее решать одновременно задачи существования и приближенного построения периодического решения системы уравнений (204) методом последовательных периодических приближений.

В частности, для системы уравнений стандартного вида

где -функция, удовлетворяющая условию 1; малый положительный параметр, периодическое решение существует и определяется с точностью до величин порядка выражением

здесь корень уравнения

такой, что

Заметим, что вычисления по схеме (205) сводятся к элементарным операциям, когда функция есть полином относительно переменной х и тригонометрический полином относительно Если исходная функция имеет другой вид, то ее следует предварительно аппроксимировать с достаточной степенью точности функцией указанного вида,

Метод тригонометрической коллокации удобен для реализации на ЦВМ при отыскании периодического решения системы уравнений (204),

удовлетворяющей условию 1. Согласно этому методу периодическое периода решение ищется в виде тригонометрического полинома

неизвестные коэффициенты которого находятся из условия точного удовлетворения дифференциальному уравнению (204) в выбранных точках

Согласно методу для определения коэффициентов получаем систему алгебраических уравнений

Выбор в качестве узлов коллокации равноотстоящих точек обеспечивает сходимость метода тригонометрической коллокации.

При достаточно большом система алгебраических уравнений (207) разрешима и дает хорошее приближение к периодическому решению всякий раз, когда система дифференциальных уравнений (204) имеет изолированное периодическое периода решение и это решение обладает довольно общим характером устойчивости

На практике для решения системы уравнений (207) применяются приближенные методы, в частности метод последовательных приближений (простой итерации), метод Ньютона, различные варианты метода продолжения решения по параметру.

В работе [61] проведена формализация процесса получения и решения системы алгебраических уравнений (207) методом тригонометрической коллокации. Полученные с его помощью вычислительные схемы приспособлены также для вычисления на ЦВМ приближенного периодического решения методом последовательных периодических приближений, что значительно расширяет сферу применимости метода.

1
Оглавление
email@scask.ru