5. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Важный класс консервативных механических систем образуют системы, уравнения движения которых интегрируются в квадратурах. Достаточно общие признаки интегрируемости (в квадратурах) уравнений движения голономных консервативных систем со стационарными связями были сформулированы Штеккелем [4]. Интегрируемыми однако, могут быть и другие системы

В немалых областях изменения начальных условий общее решение уравнений движения интегрируемой консервативной системы с степенями свободы при некоторых раиичениях на вид кинетической и потенциальной энергий представимо в виде следующего -кратного ряда Фурье:

где - парциальные «быстровращающиеся» фазы, произвольные начальные фазы, -парциальные частоты, которые как и коэффициенты ряда (47), зависят, вообще говоря, от остальных постоянных интегрирования При фиксированных значениях этих пооянных (и произвольных соотношения (47) задают в -мерном фазовом пространстве системы гиперповерхность, топологически эквивалентную -мерному

тору. Величины согласно (47) являются в общем случае квазипериодическими или условно-периодическими функциями времени. Поэтому говорят, что интегрируемая (в квадратурах) система допускает общий квазипериодический интеграл, а ее фазовое пространство сплошь заполнено торами квазипериодических решений.

Выбор быстрых фаз в решении (47), вообще говоря, неоднозначен. Однако их общее число строго определено, так как всегда тождественно относительно начальных условий должны выполняться неравенства

где произвольные целые числа.

Среди постоянных интегрирования, существенно отличных от фазовых сдвигов, постоянным можно придать смысл так называемых парциальных действий определяемых по формулам [2]

Можно показать, что постоянная энергия и парциальные частоты в наиболее общем случае зависят только от парциальных действий [2], причем всегда

Решение типа (47) называют либрационным по всем фазам. Наряду с ним возможны и общие квазипериодические решения ротационного типа. Такие решения появляются, если часть исходных координат имеет смысл углов, и от либрационных решений существенно не отличаются.

Если парциальные частоты постоянны и не зависят от начальных условий, то рассматриваемую систему называют изохронной в отличие от прочих анизохронных консервативных систем. Для изохронной системы согласно (50)

причем числа должны быть несоизмеримы [см. (48)] (или, как иногда говорят, взаимно сильно несоизмеримы; см. также п. 2 гл. VIII).

Линейная и поэтому изохронная консервативная механическая система со стационарными связями, для которой

имеет следующий квазипериодический общий интеграл либрационного типа:

где есть корни определителя однородной линейной системы

а величины Асоставляют частное решение этой системы, соответствующее корню и удовлетворяющее условию нормировки

Предполагается, что частоты несоизмеримы [см. (48)], и поэтому

Анизохронные консервативные системы можно охарактеризовать видом -мерной скелетной гиперповерхности: Введем матричный коэффициент крутизны [см. (20)]

Интегрируемые консервативные системы удобно классифицировать по степени их вырождения равной разности между числом степеней свободы и числом быстрых фаз Рассмотренная выше общая линейная система является невырожденной вследствие несоизмеримости частот.

Если степень вырождения системы равна то движение характеризуется единственными фазой, частотой и постоянной действия. В этом случае, независимо от общего числа степеней свободы системы , энергия однозначно определяется постоянной действия, причем Соответственно можно говорить о скелетной кривой (16) и скалярном коэффициенте крутизны (20).

Такой случай характерен для классической задачи Кеплера о движении материальной точки в ньютоновском поле центральных сил где постоянная; расстояние от точки до центра [2]. Уравнение скелетной кривой периодических движений в этой задаче имеет вид

В задаче Кеплера принадлежность движения к периодической ротации по эллиптической орбите определяется не его постоянной энергии или же связанным с ней действием

а другой постоянной интегрирования, связанной с так называемым интегралом площадей.

Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в известных случаях их интегрируемости Эйлера и Лагранжа [3] допускают общий двухчастотный интеграл, и поэтому степень вырождения в указанном выше смысле равна единице.

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)