13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ

При исследовании колебательных процессов приходится решать как задачу Коши

так и краевую задачу. Особенно часто требуется находить решение двухточечной краевой задачи

определяющее периодическое решение системы уравнений (190), в случае периодичности функции по переменной с периодом

Для решения этих задач разработаны различные численные методы интегрирования, которые благодаря использованию ЭЦВМ превратились в универсальные средства приближенного анализа колебаний. Развитие вычислительных средств привело к модернизации ранее разработанных и созданию новых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений теории колебаний. Задача выбора наиболее подходящего численного метода интегрирования связана со спецификой каждой конкретной задачи. Удачно выбрав метод, можно значительно ускорить процесс решения задачи, уменьшить требования к объему оперативной памяти, используемой ЦВМ.

Численные методы решения задачи Коши.

Наиболее широко применяют одно-шаговые методы типа Рунге-Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых «жестких» или сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации.

В задачах теории колебаний колебательный характер процесса обнаруживается обычно при длительном наблюдении за ним. Это приводит к необходимости исследования математической модели этого процесса на временном интервале большой длины.

Чтобы при расчете не устойчивых периодических движений не встретить осложнений (таких, как быстрый рост ошибок с увеличением временного интервала, потерю устойчивости счета), целесообразно использовать сильно устойчивые вычислительные схемы.

При численном решении задачи Коши (188) — (189) приближенное решение находят в дискретные моменты времени

где определенный фиксированный переленный шаг интегрирования. Если на всем промежутке изменения независимой переменной то говорят о численном интегрировании с постоянным шагом.

Главное достоинство одношаговых методов численного интегрирования задачи (188) — (189) заключается в том, что таблица приближенных решений в каждый текущий момент времени вычисляется по значениям решения в одной предыдущей точке и легко может быть осуществлен переход к счету с переменным шагом интегрирования.

В теории численных методов интегрирования выработано несколько критериев качественной оценки эффективности различных методов. Один из них состоит в сравнении локальной погрешности, т. е. в сравнении отклонений

где соответственно точное и вычисленное решения задачи Коши (188) — (189) в точке

Для каждого метода обычно оценивается порядок локальной погрешности относительно шага интегрирования Говорят, что численный метод интегрирования имеет порядок если на всем временном интервале интегрирования т. е. с постоянной с, не зависящей от шага

Метод Эйлера — простейший одношаговый метод решения задачи Коши сводится к вычислительному процессу

Метод Эйлера — приближенный метод первого порядка.

Метод Эйлера — Коши с итерациями состоит в том, что приближенное решение вычисляется по формулам

При этом число необходимых итераций выбирают из соображений достаточной малости разности Обычно Если за три-четыре итерации и не совпадают с заданной точностью решения задачи, то применяют метод Эйлера-Коши, уменьшив шаг интегрирования в 2 раза.

Метод Эйлера-Коши с итерациями является методом второго порядка. Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле

в которой выбирается по правой части системы (188) вполне определенным образом.

Метод Рунге — Кутта первого порядка точности совпадает с методом Эйлера.

Метод Рунге — Кутта второго порядка точности задается формулами

либо

Метод Рунге — Кутта третьего порядка точности определяется формулами

или

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности реализуется по формулам

Обычно порядок точности схемы (192) достаточен для достижения нужной степени точности решения задачи Коши (188) — (189). Это обусловливает широкое использование именно этой вычислительной схемы методов Рунге-Кутта.

Существуют методы Рунге-Кутта более высоких порядков. Однако повышение порядка метода приводит к быстрому возрастанию вычислительных операций, необходимых для их осуществления. Проводя вычисления по схемам высоких порядков точности, всегда надо разумно сочетать выгоды от повышения порядка с потерями от увеличения числа вычислений.

Приведенные выше схемы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка просто распространить на системы дифференциальных уравнений второго порядка

при начальных условиях

Учитывая важность уравнений второго порядка при описании колебательных процессов, приведем некоторые схемы их численного интегрирования,

Метод Эйлера для систем уравнений второго порядка приводит к вычислительной схеме

Метод Рунге — Кутта четвертого порядка для систем уравнений второго порядка может быть осуществлен по формулам

где

Разностные методы решения задачи Коши (188) — (189) чаще всего используют сетку (191) с постоянным шагом Разностная схема порядка имеет вид

и определяет приближенное решение через предыдущих значений

В различных схемах разностных методов по-разному выбирают константы Разностную схему называют явной, когда и неявной, когда Вычисления по явной разностной схеме проще, чем по неявной, однако получаемые результаты менее точны.

Наиболее употребительные формулы явных разностных схем — экстраполяционные формулы Адамса, неявных — интерполяционные формулы Адамса, Милна.

Экстраполяционная формула Адамса второго порядка имеет вид

и дает локальную погрешность порядка

Экстраполяционная формула Адамса четвертого порядка определяет приближенное решение по схеме

с локальной погрешностью порядка

Интерполяционная формула Адамса первого а (формула трапеций) имеет вид

и дает локальную погрешность порядка

Интерполяционная формула Адамса третьего порядка определяет приближенное решение по схеме

с локальной погрешностью порядка

Интерполяционные формулы Адамса, как неявные разностные схемы, на каждом шаге интегрирования требуют решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Эти уравнения приходится решать каким-нибудь итерационным методом, например методом простой итерации или методом Ньютона. Это требует включения в неявные формулы численного интегрирования итерационных формул решения алгебраических уравнений.

Так, использование в интерполяционной схеме Адамса 3-го порядка метода простой итерации приводит к следующей вычислительной схеме:

где — начальное приближение, определяемое на основании явной схемы (195) по формуле

При этом число выбирают из условия совпадения значений и с заданной степенью точности.

Метод Милна «предсказание — уточнение» для нахождения значения использует предсказывающую формулу

и уточняющую формулу

Локальная погрешность метода Милна имеет порядок Приведенные разностные схемы интегрирования задачи (188) -(189) легко применить для решения задачи Коши в случае систем дифференциальных уравнений второго порядка (193) — (194).

Метод Милна для систем уравнения второго порядка использует предсказывающие формулы

и уточняющую формулу

где Если значения и вычисленные соответственно по формулам (196) и (198), сильно отличаются, то, заменяя на заново находят по формуле и повторяют уточнение.

Локальная погрешность схемы численного интегрирования (196) — (198) порядка

Как следует из вышеприведенных формул, для начала счета по разностной схеме порядка требуется знание решения в точках

Значение решения в точке задают условия Коши (189). Недостающие значения решения вычисляют, как правило, по одному из одношаговых методов, причем их точность должна быть по крайней мере в 5—10 раз большей, чем требуется для всего решения.

Численные методы решения краевых задач.

Метод сведения к задаче Коши Краевые задачи могут быть сведены к задаче Коши, следовательно, для решения применимы все приведенные выше схемы численного интегрирования.

Двухточечная краевая задача для линейной системы дифференциальных уравнений

с краевыми условиями сводится к решению задачи Коши (199) при начальных условиях

где нормированная фундаментальная матрица однородной системы уравнений частное решение системы (199), принимающее при значение

Для построения матрицы требуется решить на отрезке задач Коши

где единичная матрица, а для нахождения решить задачу Коши (199),

Невырожденность матрицы является необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости исходной краевой задачи. В нелинейном случае общего приема сведения краевой задачи

к эквивалентной ей задаче Коши не существует.

Иногда приближенное решение задачи (201), (202) можно найти путем многократного решения задач Коши, поступая следующим образом. Пусть решение системы (201), принимающее при значение Положим Вычислим решение для заданных начальных значений и найдем значение функции в точках

По значениям строим полином интерполирующий функцию Значение при котором определяет начальное значение задачи Коши (201), ведущей к решению краевой задачи (201), (202).

Разностные методы. Для численного решения краевых задач широко применяют разностные методы, сводящие дифференциальное уравнение (201) к конечно-разностным уравнениям.

В методах с равномерным шагом поступают следующим образом Отрезок Разбивают точками на равных частей и вычисляют приближенное значение решения краевой задачи (201), (202) в точке из

системы алгебраических уравнений

где одна из формул замены производной в точке разностным соотношением; в качестве можно взять выражения

аппроксимирующие значения производной — соответственно с порядком

При решении разностными методами краевой задачи для системы дифференциальных уравнений второго порядка производную в точке аппроксимируют разностным соотношением за которое с точностью можно взять, например, выражение