4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде, в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр Эффективнее всего применение асимптотического метода для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс.

Такие дифференциальные уравнения играют существенную роль при изучении нелинейных колебательных процессов. Действительно, представим, что исследуемая колебательная система настолько близка к линейной, что колебания в течение одного периода имеют форму, достаточно близкую к гармонической. Однако если рассматривать эти колебания на большом интервале времени по сравнению с периодом колебаний, то будет существенно проявляться влияние даже малых отклонений системы от линейной, обусловленное наличием малых нелинейных членов в соответствующих дифференциальных уравнениях. Из-за нелинейности последних нарушается принцип суперпозиции построения их решения Например, в системе могут присутствовать нелинейные источники и поглотители энергии, которые производят и поглощают весьма малую энергию за один цикл колебаний, но при длительном их действии производимый ими эффект может накапливаться и оказывать существенное влияние на протекание колебательного процесса (на его затухание, «раскачивание» и устойчивость). Аналогично нелинейность квазиупругой силы будет при длительном воздействии оказывать влияние на фазу колебаний и т. п.

Наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с малой нелинейностью. С математической точки зрения исследование систем с большой нелинейностью — трудная проблема, требующая индивидуального подхода в каждом конкретном случае.

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование; например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Крылова и Н. Н. Боголюбова