Развитие метода точечных отображений.

При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкретных задач методом сшивания (припасовывания). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографии [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с -образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую.

Так, в случае, когда балансир в момент прохождения через равновесное положение со скоростью получает дополнительный импульс некоторой постоянной вели, чины при или но с его движение подчиняется уравнению внда

а при происходит мгновенный скачок скорости на некоторую величину Движение фазовой точки согласно уравнению (138) изображается на плоскости фазовых переменных скручивающимися к началу координат спиралями, изображенными на рис 14 При балансир получает подталкивающий импульс Это означает, что фазовая точка приходящая на полуось скачком перемещается из точки в точку (рис 14)

Пусть и две последовательные точки прихода фазовой точки на полуось Находим, что

Соотношение (139) определяет отображение в себя секущей полупрямой Это отображение можно представить графически (рис. 15) Точка пересечения графика с биссектрисой определяет неподвижную точку преобразования которой соответствуют периодические колебания балансира, поскольку при этом значении точки и совпадают, т. е. Из графика следует, что всякая другая фазовая траектория асимптотически приближается к найденному периодическому движению

Действительно, последовательные значения соответствующие последовательным пересечениям фазовой точки с секущим лучом приближаются к точке Построение типа представленного на рис. 15 называют диаграммой Кенигса-Лемерея

Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения физико-математических наук АН СССР «Теория точечных преобразований Пуанкаре-Брауера-Биркгофа и теория нелинейных колебаний».

Рис. 14

Рис. 15

В результате метод сшивания решений, возникший для отыскания периодических решений конкретных кусочно-линейных систем, соединился с методом секущей поверхности А. Пуанкаре и обрел математическую базу в теории точечных отображений и методе неподвижной точки. Особо следует отметить вовлечение в рассмотрение неустойчивых седловых неподвижных точек и их сепаратрисных поверхностей, которое существенно расширило возможности глобального исследования.

Все это вместе позволило решить ряд нелинейных задач теории автоматического регулирования. Среди них задача Мизеса, задача о стабилизации самолета автопилотом, задача Вышнеградского, задача о влиянии сухого трения на устойчивость непрямого регулирования и другие (см. [2, 45]). Характерным в решении этих задач было совместное рассмотрение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров, использование соображений непрерывной зависимости движений от параметров и их бифуркаций.

Вместе с тем в основе решения этих задач, послужившего прототипом для многочисленных последующих работ, лежала кусочно-линейная аппроксимация нелинейностей, которая делала возможным получение аналитических выражений точечных отображений в явном или параметрическом виде. Это обстоятельство вместе с недостаточностью разработки методов исследования точечных отображений определило на этом этапе метод точечных отображений как метод изучения кусочно-линейиых систем небольшой размерности, выделяющийся среди других методов исследования возможностями полного глобального исследования структуры фазового пространства и ее зависимости от параметров.

В качестве пояснения сказанного изложим результаты исследования классических систем прямого и непрямого регулирования с учетом сухого трения в чувствительном элементе.

Результатом решения задачи И А Вышнеградского о регуляторе прямого действия с учетом сухого трения в чувствительном элементе явилось разбиение пространства параметров этой системы на три области (рис 16). устойчивость в целом процесса регулирования, ограниченная устойчивость, неустойчивость Система непрямого регулирования с трением в чувствительном элементе и сервомотором переменной или постоянной скорости описывается;

уравнением объекта

уравнениями чувствительного элемента с учетом сухого трения при

уравнением сервомотора переменной скорости

уравнением сервомотора постоянной скорости

уравнением золотника

При отсутствии жесткой обратной связи и наличии сервомотора переменной скорости поведение системы зависит от одного существенного параметра а при наличии сервомотора постоянной скорости — от двух параметров В первом случае при система устойчива в целом, при она автоколебательная Во втором случае при процесс регулирования устойчив в целом, при нарушении этого условия имеет место устойчивость в малом, и в системе наряду с устойчивым режимом работы возможны автоколебания

Результаты исследования этой системы при наличии жесткой обратной связи и сервомо тора переменной скорости представлены на рис 17 Плоскость существенных параметров разбита на области различных возможных вариантов поведения системы Для системы с сервомотором постоянной скорости аналогичное разбиение плоскости параметров помимо областей устойчивости в целом, неустойчивости и автоколебаний включает области с несколькими различными автоколебаниями

Рис. 18

Рис. 17

Следующий эгап в развитии метода точечных отображений состоял в применении его к новым типам систем, в перенесении на многомерные системы и использовании для решений общих вопросов теории нелинейных колебаний. При этом метод секущей поверхности отступил на второй план, и точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобной как для конкретных численных исследований, так и для изучения теоретических вопросов [45].

Метод точечных отображений был применен к релейным системам автоматического регулирования, к исследованию нелинейных сервомеханизмов, систем циклической автоматики, экстремальным регуляторам, системам массового обслуживания конфликтных потоков заявок и марковским системам, к исследованию процессов вибропогружения и виброперемещения, виброударным системам и системам с ударными взаимодействиями, к исследованию часовых ходов, нелинейных демпферов, цифровых систем, систем с переменной структурой, к задачам фазовой автоподстройки и синхронизации, к исследованию колебаний механических систем с конструкционным демпфированием и люфтом, к гироскопическим системам, к нелинейным радиотехническим системам, к изучению колебаний вала в подшипнике и многим другим.

Более широкое использование метода точечных отображений привело к выделению некоторою класса нелинейных динамических систем, к которым он можег быть

применен [45]. Движение системы этого класса описывается одной из систем дифференциальных уравнений вида

и переход от описания системой к описанию системой происходит при выполнении одного из условий вида

и еще некоторых неравенств

При переходе от описания движения системы системой уравнений (140) к описанию системой начальные значения новых переменных определяются по конечным значениям старых переменных в момент перехода с помощью соотношений вида

Частными видами таких систем являются кусочно-линейные системы с переменной структурой, системы с ударными взаимодействиями (см. гл. XII) и др. Такие системы обладают рядом особенностей, отличающих их от систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями. В них возможны новые типы движений, так называемые скользящие движения (см. гл. VI), новые типы состояний равновесия, периодических движений и их бифуркаций (см. гл. I, п. 2).

Рис. 18

Метод точечных отображений расширил понимание особенностей многомерных динамических систем [45, 65].

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические картинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисных кривых седловых равновесий, образующими гомоклинические структуры [14, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм — это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему «фазовая» картина изображена на рис. 18.

Таким образом в настоящее время с помощью теории нелинейных колебаний помимо состояний равновесия и периодических движений исследуют стохастические колебания, турбулентность и случайные волны.

Дискретное описание движений динамической системы с использованием точечного отображения удобно применять при численных методах исследования с помощью

современных дискретных вычислительных машин. Существуют программы автоматизированного полного исследования преобразования прямой в прямую без аналитического задания [70]. Некоторые из них применимы и к точечным преобразованиям большой размерности. Использование вычислительных машии существенно расширяет возможности метода точечных отображений, как правило, требующего проведения громоздких и трудоемких вычислений. Это направление исследований представляется весьма перспективным поскольку возможности аналитического изучения сколько-нибудь сложных динамических систем ограничены.