Эквивалентная линеаризация нелинейных колебательных систем.

Уравнениям первого приближения (73) можно дать физическую интерпретацию, допускающую их построение без предварительного составления исходного точного дифференциального уравнения.

Запишем основное дифференциальное уравнение колебательной системы в виде

где положительны.

Решение уравнения (80) в первом приближении

где (соответственно амплитуда и полная фаза) должны удовлетворять уравнениям

здесь Введем в рассмотрение функции амплитуды

Тогда уравнения первого приближения с точностью до величин порядка можцо записать в виде

Таким образом, рассматриваемое первое приближение (81) с точностью до величин порядка малости удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

Итак, в первом приближении колебания исследуемой нелинейной колебатглыюй системы и некоторой линейной колебательной системы, обладающей коэффициентом затухания и коэффициентом упругости эквивалентны (с точностью до величин порядка малости

Обычно называют эквивалентным коэффициентом затухания, а эквивалентным коэффициентом упругости, саму же линейную колебательную систему, описываемую уравнением (84), — эквивалентной системой. Сравнивая уравнения (84) и (80), видим, что уравнение (84) получается из (80) заменой нелинейного члена линейным где

Выражение представляет собой декремент затухания колебаний эквивалентной линейной системы, а собственную частоту колебаний этой системы,

Таким образом, уравнения первого приближения (82) можно формально образовать следующим образом. Линеаризуем рассматриваемую колебательную систему, заменяя в основном уравнении (80) нелинейную силу линейной [значения и к определяем по формулам (83)], Для получения

эквивалентной линейной системы с массой коэффициентом затухания и коэффицц. ентом упругости находим декремент затухания и частоту собственных колебаний отбрасывая величины второго порядка малости:

Применим известные для линейной колебательной системы формулы

показывающие, что декремент колебаний есть логарифмическая производная амплитуды, взятая с обратным знаком, и что частота есть «угловая скорость» полной фазы колебания. Еслн в уравнения (86) подставить значения по формулам (85) и (83), то полученные равенства совпадут с ранее выведенными уравнениями первого приближения (82).

Изложенный формальный метод образования уравнений первого приближения называется методом эквивалентной линеаризации.