5. ДВУХМАССНЫЕ ВУС

Метод расчета периодических режимов движения двухмассных ВУС, как и одномассных, основан на использовании условий периодичности, описывающих состояние системы в начале и конце некоторого заранее выбранного интервала времени, длительность которого равна периоду движения. Однако если для одномассных ВУС положение звена при соударении известно (для систем с неподвижным ограничителем) или определяется моментом соударения (для систем с ударником), то для двухмассных ВУС в общем случае положение соударяющихся звеньев может быть найдено только после полного описания периодического режима.

Рис. 9

Рассмотрим расчет одноударного периодического режима на примере двухмассной модели (рис. 9), к звену которой приложена гармоническая сила [12].

Начало координат совпадает с положением статического равновесия звена (при отсутствии звена а момент с моментом соударения. При на интервалах между соударениями движение звеньев описывается

уравнениями

где фазовый сдвиг внешней силы; зазор (координата положения статического равновесия звена при отсутствии равна Уравнения (29) в безразмерной форме имеют вид

Решения этих уравнений

должны удовлетворять следующим условиям периодичности:

Скорости связаны уравнениями удара (1) и (2). Эти два уравнения в совокупности с тремя условиями

позволяют определить содержащиеся в (31) пять неизвестных величин: Непосредственно из условий следует

где некоторые целые числа. Условие положительности импульса, передаваемого при соударении звеном звену приводит к соотношениям

Отсюда, в предположении, что целые числа находятся из неравенств

Подставляя в (1) и (2) выражения для скоростей из (31) получаем систему двух линейных относительно уравнений, откуда

Используя (31) и (37), определяем скорости

Эти величины и ударный импульс в системе являются линейными функциями Для определения фазы используем первое условие (33), которое

с учетом (31), (34) и (37) приводится к фазовому уравнению (11), где

Область существования решений этого уравнения в пространстве параметров задается неравенством

которое ограничивает возможные значения зазора. Для каждого удовлетворяющего (40), имеются два решения фазового уравнения

В отличие от одномассной ВУС без упругих связен, рассмотренной в п. 3, здесь кроме (40) необходимо учитывать условия (35). Из (35) и (37) следует, что для решений (41) должно быть

Несложный анализ показыврет, что: 1) при — оба решения (41) удовлетворяют условиям существования (40) и (42), если и не удовлетворяют им, если при знаки величин различны и существует единственный периодический (кратности I) закон движения; 3) при имеем два периодических решения, если и ни одного, если

Рис. 10

Рис. 11

На рис. 10 показаны области существования одноударных режимов, построенные по условиям (40) и (42) Различной штриховкой выделены области существования одного режима и двух режимов. Штрихпунктирными линиями поканы вертикальные асимптоты границ. Выше штриховой кривой расположена область «затягивания» виброударных режимов, где наряду с виброударными возможны гармонические колебания звена при неподвижном На рис. показаны импульсные характеристики системы в безразмерных величинах формула для приведена в табл. 2). Штриховая линия соответствует огибающей семейства импульсных характеристик при различных а.

Для анализа устойчивости двухмассных ВУС, как и одномассных, необходимо рассмотреть возмущенное движение системы в окрестности периодического режима. Для двухмассных систем возмущенное движение определяется четырьмя

(см. скан)

(см. скан)

независимыми величинами возмущений. Соответственно степень характеристического уравнения равна четырем, что в общем случае делает затруднительным аналитическое изучение областей устойчивости. При численном решении задача сводится к вычислению коэффициентов этого уравнения и проверке условий неравенствам Шура.

Рис. 12

Используя изложенную выше методику, можно найти законы периодического движения для различных двухмассных ВУС. Основные результаты такого расчета (формулы для коэффициентов фазового уравнения и ударного импульса) приведены в табл. 2. Для симметричных ВУС формулы в табл. 2 соответствуют режиму, когда движения звеньев удовлетворяют условиям симметрии

а в каждой из двух ударных пар происходит одно соударение за период. Исключением является последняя из приведенных в табл. 2 моделей, для которой всегда поэтому условия (43) невыполнимы. Для такой системы условие симметрии имеет вид

т. е. движения звеньев взаимно симметричны. Из (44) следует необходимость двух соударений звеньев за период. Эти соударения происходят через интервалы времени Поэтому при простейшем симметричном режиме происходит четыре соударения за период. Кинематическая картина такого движения представлена на рис. На этом рисунке стрелками обозначены величины скоростей звеньев