2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим колебания твердого тела, находящегося в потенциальном поле сил (гравитационном поле Земли, поле упругих сил и т. д.). Положение твердого тела при его колебаниях относительно положения равновесия будем определять шестью обобщенными координатами 
первые три из которых являются координатами центра масс тела, а остальные — углами Эйлера, выбранными по одному из известных способов. В рассматриваемой задаче будем считать, что перемещения 
и углы 
не малые, но такие, что в уравнениях движения твердых тел с приемлемой точностью могут быть сохранены только члены не выше третьего порядка относительно координат и их производных.
Учитывая принятую точность, силовую функцию 
характеризующую потенциальное поле, приближенно определим формулой
где 
соответственно функции второй, третьей и четвертой степеней относительно обобщенных координат 
Тогда уравнения колебательного движения твердого тела независимо от характера потенциального поля и других действующих внешних сил примут вид
где 
масса тела; 
моменты инерции тела относительно его главных центральных осей; 
функции первой, второй и третьей степени относительно обобщенных координат и их производных, выражающие соответственно линейные, нелинейные силы и моменты, обусловленные силами инерции и силовой функцией 
потенциального поля; 
внешние возмущения, являющиеся заданными функциями времени.
Такую же структуру имеют уравнения колебательного движения твердого тела, находящегося в потенциальном поле упругих сил.
Рис. 1
Для исследования пространственной неустойчивости и колебаний рассмотрим только обобщенную динамическую модель, представляющую собой твердое тело, прикрепленное с помощью упругих опор к неподвижному основанию. Опорами тела являются упругие пружины с коэффициентами жесткостей 
имеющие длины 
точки крепления пружины к телу и к основанию считаем идеальными шарнирами. На твердое тело при его колебаниях действуют реакции упругих пружин, силы сопротивления движению тела, внешние возмущающие силы и моменты, зависящие от времени 
Для вывода уравнений колебаний тела вблизи положения статического равновесия воспользуемся неподвижной и подвижной Огхуг (связанной с телом) системами координат (рис. 1). При этом в положении равновесия предполагаем совпадающими точки 
и 
а также оси 
соответственно с осями 
Углы Эйлера 
выберем по способу А. Н. Крылова.
Уравнения колебательного движения тела, составленные в неподвижной системе
координат 
с учетом величин до третьего порядка малости относительно обобщенных координат и их производных, имеют вид [4]:
(см. скан)
Нелинейные функции 
определяются равенствами
где 
- постоянные коэффициенты, которые определяются упругой системой; 
коэффициенты, характеризующие сопротивление относительному движению тела [4].
В силу принятых ранее предположений нелинейные члены уравнений (3) можно считать малыми по сравнению с линейными членами. Полагая также малыми силы сопротивления движению и вводя малый параметр 
уравнения (3) представим в квазинормальной форме
где
(см. скан)
Величины 
являются коэффициентами при нелинейных составляющих упругих сил и выражаются через линейные комбинации коэффициентов жесткости упругих элементов 
в зависимости от схемы расположения упругих элементов в системе.
Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями (5), предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4]. Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сводится к исследованию устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование резонансных характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических или почти периодических решений, а также к изучению их устойчивости в областях неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов колебаний изучаемых систем.
