Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

1. СЛУЧАИ ТОЧНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ПРИВОДИМЫЕ К НИМ

Точное интегрирование возможно для некоторых классов дифференциальных уравнений, главный из которых образуют линейные уравнения с постоянными коэффициентами (см. а также для уравнений специальных типов. Тем не менее случаи точной интегрируемости важны, поскольку они представляют собой своеобразную базу при решении более сложных задач приближенными методами.

Ниже приведен краткий перечень основных общих случаев точной интегрируемости; более полные сведения можно найти в известных справочниках [21, 30].

Рассмотрим случаи точной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений и приводимые к ним или же приводимые к интегрируемым линейным дифференциальным уравнениям.

Остановимся вначале на случаях интегрируемости в квадратурах широкого класса дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимых относительно производной. Независимую переменную будем обозначать через х, а зависимую через у.

Уравнения с разделенными переменными. Общий вид

Общий интеграл уравнения (1)

Уравнения с разделяющимися переменными. Общий вид

Уравнение (2) умножением на можно привести к виду (1) и затем проинтегрировать.

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Общий вид

где с — действительные числа.

Заменой искомой функции с уравнение вида (3) можно привести в новых переменных к уравнению вида (2), которое интегрируется в квадратурах.

Однородные уравнения. Уравнение общего вида

называется однородным, если при замене х на на произвольный множитель) оно не изменится, Замена где новая искомая функция, приводйт уравнение (4) в новых переменных к уравнению вида (2), т. е. к уравнений с разделяющимися переменными.

Обобщенные однородные уравнения. Уравнение вида (4) называется обобщенным однородным, если при замене х на на произвольный множитель, а — некоторое действительное число) оно не изменится,

Замена приводит обобщенное однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными вида (2).

Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям. Общий вид

где — действительные числа. А В

Если замена с приводит уравнение (5) в переменных к однородным уравнениям вида (4).

Если замена приводит уравнение (5), относящееся к уравнениям вида (3), к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения. Общий вид

Уравнения типа (6) интегрируются методом вариации произвольной постоянной или методом И. Бернулли

Согласно методу вариации произвольной постоянной наряду с линейным неоднородным уравнением (6) рассматривается соответствующее линейное однородное уравнение

общее решение которого как уравнения с разделяющимися переменными имеет вид

где С — произвольная постоянная Тогда общее решение исходного линейного неоднородного уравнения (6) по указанному методу разыскивается в виде

т. е. в виде общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, в котором произвольная постоянная заменена (варьирована) функцией Последняя определяется из условия, что функция у разыскиваемого вида является общим решением уравнения (6), т. е. удовлетворяет этому уравнению и содержит произвольную постоянную. Поэтому, подставляя искомую функцию в левую часть уравнения (6), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции

Интегрируя последнее, находим

и, следовательно, общее решение у в целом уравнения (6)

Уравнения, сводящиеся к линейным:

уравнение Я. Бернулли

Умножив (8) на и введя замену получим в переменных линейное неоднородное уравнение

т. е. уравнение вида (6)

Уравнение в полных дифференциалах. Общий вид

если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в рассматриваемой области, где удовлетворяют тождественно условию

В этом случае

откуда следует система уравнений относительно неизвестного интеграла

а также вид общего интеграла и

Уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Общий вид

но

В ряде случаев можно отыскать интегрирующий множитель ; уравнение (10) после умножения на него принимает вид уравнения в полных дифференциалах [33]

Рассмотрим интегрируемые случаи дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной.

Уравнения n-й степени. Общин вид

где непрерывные коэффициенты.

В ряде случаев эти уравнения можно проинтегрировать методом расщепления Предполагая, что в некоторой области изменения уравнение степени (11)

имеет различных вещественных корней запишем его в виде

Отсюда следует, что

В результате получено уравнений, разрешенных относительно . Их интегрирование предполагаем возможным.

Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения Лагранжа в каноническом виде

В частном случае, когда уравнение (12) переходит в уравнение Клеро. Уравнения Лагранжа всегда интегрируются в квадратурах. Действительно, вводя параметр уравнение (12) запишем в параметрической форме

Тогда, дифференцируя второе уравнение (13) по х (с учетом первого равенства), получим

Умножив на и разделив на найдем

Уравнение (14) линейно относительно х, и его общее решение

находится с помошью двух квадратур [см. формулу (7)].

Общее решение (15) и второе уравнение (13) образуют общий интеграл уравнения Лангража в параметрической форме

К полученному общему интегралу следует присоединить решения вида

где корни уравнения Эти решения были потеряны при указанном выше делении уравнения на

Рассмотрим случаи возможной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Независимую переменную обозначим через а зависимую через у.

Уравнения второго порядка, не содержащие зависимой переменной в явном виде. Общий вид

для понижения порядка введем замену после чего получим

Если уравнение (17) интегрируется в квадратурах, то всегда можно завершить интегрирование исходного уравнения (16).

Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной в явном виде. Общий вид

Введем замену

тогда и уравнение (18) в новых переменных запишем в виде уравнения первого порядка

Предполагая, что полученное уравнение (20) интегрируется, и учитывая замечу (19), можно проинтегрировать исходное уравнение (18).

Кусочно-линейные уравнения второго порядка. Во всем рассматриваемом диапазоне изменения переменных уравнения нелинейны, однако отдельных участках их можно считать линейными. Поэтому рассматриваемую нелинейную задачу можно свести к согласованному решению нескольких линейных уравнений (методом припасовывания получаемых решений) Такого вида уравнением, например, описывается механический осциллятор с сухим трением [22]

(правая часть равна в зависимости от знака

Принимая следующие начальные условия на отдельных участках движения, соответствующих промежуткам времени получаем решения уравнения (21) в виде

Уравнения второго порядка, приводящие к эллиптическим функциям. Рассмотрим автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка

т. е. уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной в явном виде.

Первое интегрирование может быть легко осуществлено. Подстановка

приводит уравнение (22) к уравнению с разделяющимися переменными

Отсюда или с учетом (23)

Если есть полином некоторой степени, то первый интеграл (24) принимает вид

Второе интегрирование исходного уравнения (22), т. е. интегрирование уравнения (25), осуществляется для в элементарных функциях. Для решение может быть найдено с помощью эллиптических функций.

Осиновнмсл на использовании эллиптического интеграла первого рода, который в стандартной форме имеет вид

— параметры, называемые соответственно модулем и амплитудой и Движение осциллятора с нелинейной пружиной описывается уравнением — постоянные)

Если максимальное отклонение осциллятора обозначить через А и принять за начальные условия то в соответствии с вышеприведенной схемой интегрирования получим

С учетом (26) решение (27) принимает вид

В этом случае текущее отклонение х можно выразить через эллиптический косинус от интеграла и, т. е.