3. О МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

О методе исследования пространственных колебаний; внутренние и внешние резонансы.

Математические особенности исследования нелинейных пространственных колебаний обусловлены наличием многократных резонансов. Трудности, встречающиеся как при исследовании устойчивости, так и при приближенном построении резонансных периодических (почти-периодических) решений, общеизвестны [4, 15]. Укажем на некоторые подходы, общие для излагаемого круга задач о нелинейных колебаниях тел [4].

Предположим, что система по координатам где находится под воздействием почти периодических внешних сил

причем произвольные числа, несоизмеримые между собой. Тогда резонансные соотношения для рассматриваемого случая примут вид

Предполагая отсутствие основного резонанса по координате от непосредственно действующей по отношению к ней силы движение в направлении координаты представим в виде

Рассматривая выражения (6) как формулы замены переменных новыми переменными приведем систему (5) к стандартной форме

Приближенное решение полученных уравнений строим методом усреднения (см п. 4 гл. II), полагая [4, 15]

где главные значения, определяемые из уравнений

здесь

Описанным способом можно без существенных изменений построить решения квазилинейной системы при приближенном соблюдении выписанных выше резонансных условий. В этом случае в рассмотрение необходимо ввести «расстройки частот» где величины, точно удовлетворяющие указанным резонансным условиям.

Характер изменения функций в частности определит поведение огибающих главных частей колебательного движения. Таким образом, можно установить возможные резонансы и исследовать устойчивость вынужденных колебательных движений системы.

Рассмотрим колебания твердого тела в случае, когда возмущающая периодическая сила приложена в направлении координаты положим Тогда, анализируя известными приемами систему (5), нетрудно установить, что резонансные режимы колебаний в ней возможны при следующих соотношениях между частотами:

В формировании первых шести типов резонансов определяющая роль принадлежит нелинейным членам второго порядка, а остальных типов резонансов нелинейным членам третьего порядка относительно обобщенных координат и их производных. Резонансы типа (8), (10), обусловленные выполнением некоторых соотношений между собственными частотами системы и частотами внешних возмущений сил, назовем внешними резонансами. Резонансы типа (9), (11), которые обусловлены лишь выполнением некоторых соотношений между собственными частотами системы назовем внутренними резонансами. Рассмотрим некоторые характерные типы резонансов.