3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ

Примером нелинейной колебательной системы с ограниченным возбуждением является система, представленная на рисунке п. 2 таблицы, но с нелинейным упругим элементом Упругий элемент характеризуется следующей зависимостью восстанавливающей силы от перемещения:

В резонансном случае функция мала по сравнению с Уравнения движения имеют вид (8), но с дополнительным членом — в правой части первого уравнения. В этом случае амплитуда, сдвиг фазы и частота стационарных резонансных колебаний определяются соотношениями

где

Параметр называют эффективной «собственной» частотой нелинейной системы. Например, при

Нерезонансный случай теперь соответствует колебательным системам с немалыми характерными значениями сил трения и нелинейно-упругих сил по сравнению с характерными значениями сил инерции и линейно-упругих сил. Стационарные колебания в, нерезонансном случае обычно изучаются с помощью метода Пуанкаре в сочетании с методом гармонического баланса или гармонической линеаризации, которые применяются для определения порождающих решений. Получающиеся решения дают ту же картину развития колебаний, что и в резонансном случае. Поэтому для изучения нелинейных эффектов практически достаточно проводить анализ резонансного случая.

Частотам стационарных движений соответствуют абсциссы точек пересечения графиков характеристики двигателя и момента сил сопротивления вращению ротора. Для определенности считаем, что Возможны два варианта: («жесткая» упругая характеристика) И («мягкая» характеристика). При резонансная кривая системы и графики имеют вид, показанный на рисунке а п. 2 таблицы. Из рассмотрения графиков следует, что при квазистатическом увеличении мощности не реализуется участок а при уменьшении — участок Срывы колебаний при прямом и обратном прохождении через резонанс показаны стрелками.

При получаются графики, представленные на рис. п. 2 таблицы. При прямом прохождении нереализуемым является участок при обратном

Как при так и при ширина нереализуемых участков определяется свойствами (крутизной характеристики) источника энергии.

Предыдущие задачи, следуя классической терминологии теории колебаний, обычно называют задачами о вынужденных колебаниях систем с неидеальным источником энергии. Такая же преемственность терминологии используется при классификации автоколебаний и параметрических колебаний при ограниченном возбуждении. Примером параметрической системы с ограниченным возбуждением является система, изображенная на рисунке п. 3 таблицы. Уравнения движения этой системы имеют вид [21]

где

масса единицы длины стержня; жесткость стержня на изгиб в направлении оси первоначальное поджатие пружины.

При выводе уравнений (12) предполагалось, что колебания стержня имеют вид первой формы свободных изгибных колебаний.

Параметрические колебания основного резонанса соответствуют значениям частоты при которых В этой области амплитуда и частота стационарных

периодических режимов определяются из соотношений

Резонансные кривые системы и графики функций представлены на рисунке п. 3 таблицы. Стрелками показаны изменение амплитуд, срывы и возникновение (при переходе колебаний при квазистатическом увеличении и уменьшении мощности двигателя. При прямом прохождении через параметрический резонанс в случае (рис. а) не реализуется правая ветвь резонансной кривой, а при обратном — весь участок При (рис. б) и крутых характеристиках двигателя точками перехода являются

Система, изображенная на рисунке п. 4 таблицы, — характерная механическая автоколебательная система с ограниченным возбуждением. От известной фрикционной автоколебательной системы она отличается тем, что скорость ленты не является заданной величиной, а выражается через угловую скорость вращения двигателя: В этой задаче известной является статическая характеристика двигателя а угловая скорость зависит от колебаний массы на ленте и подлежит определению.

Уравнения движения в этом случае имеют вид [21]

где снла сухого трения между телом и лентой. Предполагается, что функция нечетная и имеет вид, показанный на рисунке п. 4 таблицы, и при

Такая аппроксимация зависимости силы трения от скорости достаточна для описания большинства технических систем, в которых возможны фрикционные автоколебания.

Амплитуда стационарных автоколебаний а и угловая скорость вращения двигателя определяются из соотношений, получающихся после применения к уравнениям (14) одного из указанных в п. 2 методов нелинейной механики:

Критерии устойчивости имеют вид

Неравенства (17) — (18) могут быть выполнены только при Как видно из первого соотношения (16), автоколебания возможны лишь тогда, когда скорость ленты соответствует убывающему участку функции Аналогичное условие справедливо для автоколебательной системы с идеальным источником энергии. Наиболее важным в задаче о взаимодействии является условие (18). Оно может выполняться при больших значениях производной

Таким образом, автоколебания могут оказаться неустойчивыми, если характеристика источника энергии будет недостаточно крутой.