О работах по развитию метода Пуанкаре и обобщению изложенных результатов.

Начало широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс -го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Существенное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944- 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почти-периоднческих решений квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова; решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль; показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений.

Результаты перечисленных выше и других исследований обобщены И. Г. Малкиным в монографии [38], которая и в настоящее время остается основным руководством по методу Пуанкаре.

С. Н. Шимановым предложен метод вспомогательных систем для исследования вопроса о существовании и выяснении аналитического вида периодических решений пригодный в особых случаях [75] (1955-1960 гг.). Рассмотрению вопросов существования и устойчивости периодических решений в случаях, когда уравнения (50) или (59) имеют кратные корнн, посвящен цикл работ А. П. Проскурякова, а также его последователей — Г. В. Плотниковой и Ю. М. Копнина (1960 г. и позднее); в случае квазилинейных систем вычисления удается провести с большой полнотой в общей форме. Эти работы суммированы в монографии [53].

Обобщение метода на случай разрывных периодических решений даио М. 3, Коловским [26J, а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цикле работ Ю. А. Рябова систематически изучены вопросы оценок областей сходимости рядов по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60].

Вопрос об устойчивости периодических решений квазилинейной системы, порождающая система для которой допускает периодическое решение, зависящее от произвольного числа параметров рассмотрен И. И. Блехманом (1955-1957 гг.), причем получены уравнения типа (54) и (60), В указанных работах допускается наличие также и иных, чем (48) и (58), линейно независимых периодических решений уравнений в вариациях (46), хотя и предполагается линейность элементарных делителей, соответствующих кратным корням уравнения (61). В этих более сложных случаях к условиям для корней уравнений (54) и (60) следует присоединить некоторые дополнительные требования. Последнее относится также к случаям, когда характеристическое уравнение системы в вариациях имеет кратные корни с нелинейными элементарными делителями; с такими случаями приходится сталкиваться, в частности, при изучении квазиконсервативных систем, когда период порождающего решения зависит от параметров Соответствующие исследования принадлежат С. Н. Шиманову (1956 г.), М. Я. Кушулю (1958 г.), Р. Ф .Нагаеву и К. Ш. Ходжаеву (1965 г, и позднее). Для периодических и почти-периодических решений нелинейных систем уравнения типа (54) получены И. Г. Малкиным (1956 г.), а для почти периодических систем с запаздыванием — С. Н. Шимановым (1960 г.).

В работах И. И. Блехмана и Б. П. Лаврова (1960 г.) предложен и обоснован, а в работах Р. Ф. Нагаева, Ходжаева, К.Г. Валеева и Р. Ф. Ганиева (1965 и позднее) развит интегральный критерий устойчивости периодических и синхронных

движений; показано, что в ряде более сложных случаев этот критерий дает необходимые условия устойчивости (см, также пп. 2 и 3 гл. VIII)

Обзоры упомянутых выше, а также других результатов данного цикла приведены в книгах [7, 54]. Из дальнейших публикаций отметим работу Р. Ф. Нагаева [43], в которой обобщены результаты, относящиеся к квазиконсервативным системам. Этапы развития метода Пуанкаре описаны в работах [8, 53]. Отметим также важные исследования зарубежных авторов — С. Делиберто и Г. Хуффорда [77], Э. Коддингтона и Н. Левинсока [24], В. Мак-Миллана [36], Дж. Стокера [67], Р. Фора [78], К. Фридрихса [79], Дж. Хаага [80], Дж. Хейла [72], М. Розо [59], Дж. Коула [31] и А. Найфе [44].