6. АВТОКОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
Автоколебательное движение проводящей частицы в поле плоского конденсатора описывается уравнениями [8]
где 
сила вязкого трения; 
ускорение свободного падения; 
постоянная электрическая сила, действующая на частицу; 
доударная скорость; 
послеударная скорость; 
коэффициент восстановления.
При 
уравнения (37), (38) определяют движение изображающих точек в полосе 
двухслойного фазового пространства системы, а при 
в полосе 
[3]. На рис 18 показана фазовая траектория движения 
начинающаяся в полосе 
при 
Непосредственно из вида траектории 
следует, что если при 
то фазовые траектории системы при возрастании 
выходят из часги 
полосы 
и вновь в нее не возвращаются. Аналогично можно показать, что фазовые траектории, начинающиеся в полосе 
при 
с течением времени выходят из части этой полосы, располагающейся при 
Эти свойства фазовых траекторий системы уравнений (37), (38) в полосах 
и 
позволяют перейти к изучению склеенного фазового пространства, представляющего собой однослойную полосу (рис. 19).
Рис. 18
Рис. 19
Часть 
этой полосы совпадает с 
при 
при 
На отрезке 
осуществляется склейка указанных частей полос 
Если отказаться от рассмотрения фазовых движений, начинающихся с указанного отрезка склейки, то автоколебательное движение изображающих точек в полосе 
склеенного фазового пространства описывается уравнениями
где 
Вводя обычное обозначение 
получаем систему уравнений, эквивалентных (39), (40),
Согласно уравнению фазовых траекторий
в полосе 
имеются две изоклины горизонтальных касательных 
где
Направление фазовых траекторий внутри и вне части полосы 
ограниченной изоклинами горизонтальных касательных, показано на рис. 19. Из рассмотрения приведенных фазовых траекторий следует, что в системе могут существовать только замкнутые траектории, охватывающие отрезок 
располагающиеся в ограниченной части полосы 
В системе всегда существует только одна замкнутая траектория — устойчивый разрывный предельный цикл Рассмотрим точечное отображение точек полупрямой 
в себя, осуществляемое траекториями системы уравнений 
Пусть отображение начальной точки в конечную, 
точки а в точку а, осуществляется по траектории 
(рис 19) Тогда отображение точки а в точку а можно представить в виде произведения промежуточных отображений, так что
Точечные отображения 
за исключением случая 
являются сжимающими [ем уравнение (41)] С другой стороны, согласно уравнению (42) и теореме о конечном приращении [4] имеет место соотношение
где 
— ординаты двух любых точек, лежащих одновременно в верхней или нижней части полосы 
и имеющих одинаковую абсциссу Так как для вязкого трения характерно соотношение 
то из уравнения (48) следует, что с течением времени фазовые траектории в верхней и нижней частях полосы 
только сближаются Это означает, что при 
точечные отображения 
сжимающие.
Но тогда при 
одновременно точечное отображение 
сжимающее, и согласно теореме Брауэра [12] на полупрямой 
существует единственная неподвижная точка точечного отображения 
Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора).
Согласно уравнениям (41) — (43) ординаты 
точек а к с предельного цикла определяются уравнениями
Период 
движения изображающей точки по предельному циклу состоит из двух полупериодов 
причем
Соотношения 
позволяют рценить количественно влияние сопротивления среды и массы частицы на размер предельного цикла и длительность периода автоколебания.
