6. АВТОКОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

Автоколебательное движение проводящей частицы в поле плоского конденсатора описывается уравнениями [8]

где сила вязкого трения; ускорение свободного падения; постоянная электрическая сила, действующая на частицу; доударная скорость; послеударная скорость; коэффициент восстановления.

При уравнения (37), (38) определяют движение изображающих точек в полосе двухслойного фазового пространства системы, а при в полосе [3]. На рис 18 показана фазовая траектория движения начинающаяся в полосе при Непосредственно из вида траектории следует, что если при то фазовые траектории системы при возрастании выходят из часги полосы и вновь в нее не возвращаются. Аналогично можно показать, что фазовые траектории, начинающиеся в полосе при с течением времени выходят из части этой полосы, располагающейся при

Эти свойства фазовых траекторий системы уравнений (37), (38) в полосах и позволяют перейти к изучению склеенного фазового пространства, представляющего собой однослойную полосу (рис. 19).

Рис. 18

Рис. 19

Часть этой полосы совпадает с при при На отрезке осуществляется склейка указанных частей полос Если отказаться от рассмотрения фазовых движений, начинающихся с указанного отрезка склейки, то автоколебательное движение изображающих точек в полосе склеенного фазового пространства описывается уравнениями

где

Вводя обычное обозначение получаем систему уравнений, эквивалентных (39), (40),

Согласно уравнению фазовых траекторий

в полосе имеются две изоклины горизонтальных касательных где

Направление фазовых траекторий внутри и вне части полосы ограниченной изоклинами горизонтальных касательных, показано на рис. 19. Из рассмотрения приведенных фазовых траекторий следует, что в системе могут существовать только замкнутые траектории, охватывающие отрезок располагающиеся в ограниченной части полосы

В системе всегда существует только одна замкнутая траектория — устойчивый разрывный предельный цикл Рассмотрим точечное отображение точек полупрямой в себя, осуществляемое траекториями системы уравнений Пусть отображение начальной точки в конечную, точки а в точку а, осуществляется по траектории (рис 19) Тогда отображение точки а в точку а можно представить в виде произведения промежуточных отображений, так что

Точечные отображения за исключением случая являются сжимающими [ем уравнение (41)] С другой стороны, согласно уравнению (42) и теореме о конечном приращении [4] имеет место соотношение

где — ординаты двух любых точек, лежащих одновременно в верхней или нижней части полосы и имеющих одинаковую абсциссу Так как для вязкого трения характерно соотношение то из уравнения (48) следует, что с течением времени фазовые траектории в верхней и нижней частях полосы только сближаются Это означает, что при точечные отображения сжимающие.

Но тогда при одновременно точечное отображение сжимающее, и согласно теореме Брауэра [12] на полупрямой существует единственная неподвижная точка точечного отображения Это и доказывает, что в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора).

Согласно уравнениям (41) — (43) ординаты точек а к с предельного цикла определяются уравнениями

Период движения изображающей точки по предельному циклу состоит из двух полупериодов причем

Соотношения позволяют рценить количественно влияние сопротивления среды и массы частицы на размер предельного цикла и длительность периода автоколебания.