Асимптотические методы Крылова — Боголюбова.
Часто приходится исследовать колебательные системы со слабыми нелинейностями и малыми случайными возмущениями типа белого шума. Такие возмущенные системы обычно содержат
малый параметр и при его нулевом значении являются линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений (детерминированными системами). Это обстоятельство делает возможным использовать идеи асимптотических методов Крылова Боголюбова для их исследования.
Пусть колебательная система описывается стохастическим дифференциальным уравнением вида:
где 
— малый положительный параметр; 
нелинейные функции; 
процесс белого шума.
Вследствие малости параметра 
возможно применение асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митропольского. Для этого в уравнении (215) произведем замену
После обычных преобразований и применения формулы 
получим
Уравнения (216) аналогичны (208), поэтому решением этой системы будет двумерный марковский процесс, т. е. системе уравнений (216) ставится в соответствие следующее уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка;
где 
плотность совместного распределения амплитуды и фазы; 
соответственно коэффициенты переноса и диффузии, определяемые по формулам
В общем случае при нахождении аналитического решения уравнения (217) встречаются существенные затруднения. Некоторые из них можно преодолеть, используя принцип усреднения.
Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка в нашем случае имеет вид
Согласно принципу усреднения решение уравнения (219) при 
можно приблизить на сколь угодно большом конечном интервале времени решением уравнения
где 
оператор, коэффициенты которого получены из коэффициентов оператора 
усреднением по времени. Поскольку коэффициенты (218) зависят от времени через 
то усреднение следует выполнить по 
Для анализа случайных колебаний нелинейных стохастических систем важную роль играет стационарная плотность распределения амплитуды, получающаяся из совместной плотности распределения амплитуды и фазы интегрированием по фазе в. Стационарным точкам этой плотности соответствуют устойчивые или неустойчивые амплитуды случайных колебаний в зависимости от достижения в этой точке соответственно максимума или минимума. Так, например, если 
некоторое положительное число), то в системе совершаются устойчивые стационарные случайные колебания с амплитудой
