2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ С ЛИНЕЙНОЙ ОДНОМАССНОЙ СИСТЕМОЙ

В задачах о взаимодействии кроме уравнений колебаний необходимо рассматривать уравнения, которые описывали бы динамику источника возбуждения. Если источником является электродвигатель, а колебательная система одномассная, то уравнения движения можно представить в виде [21]

где угол поворота ротора; перемещение колеблющейся массы; момент инерции вращающихся частей, приведенный к валу двигателя; движущий момент; момент сил сопротивления вращению. Второе уравнение описывает динамику источника возбуждения, т. е. вращение ротора электродвигателя. Момент отражает действие колебательной системы на источник возбуждения, а правая часть первого уравнения описывает переменную силу, генерируемую этим источником.

Из анализа уравнений (1) следует, что если величина момента сравнима с движущим моментом источника то переход через резонанс может быть затруднен. Кроме того, на околорезонансных частотах колебания системы оказываются неустойчивыми. Эти обстоятельства следует учитывать при разработке и создании технических систем.

Примером системы, описываемой уравнениями вида (1), является система, изображенная на рисунке п. 1 таблицы. Уравнения движения этой системы имеют вид [21]

где функция описывает статическую характеристику электродвигателя.

В уравнения (2) можно ввести малый параметр. Пусть некоторое значение угловой скорости вращения двигателя; тогда, если величина является достаточно малой, то можно считать малым параметром. Величиной порядка является также отношение где Это позволяет представить второе уравнение (2) в форме

где штрих означает дифференцирование по

Практический интерес представляют резонансные и нерезоиансные колебания. В резонансном случае колебания имеют частоту, близкую к частоте свободных колебаний. При этом, если принять где то первое уравнение (2) может быть представлено в виде

здесь

Предположение о резонансном характере колебаний означает, что величина близка к единице.

От уравнений (3), (4) введением новых переменных можно перейти к уравнениям в стандартной форме, что в дальнейшем позволяет использовать, например, метод Крылова-Боголюбова и определить параметры периодических движений. Молено также анализировать уравнения, приведенные в таблице, рассматривая в них как малый параметр, а в окончательных выражениях положить Ниже во многих случаях без особых оговорок будет считаться, что введено именно таким образом.

При уравнения описывают колебания осциллятора и вращение ротора с постоянной угловой скоростью При малых следует ожидать, что колебания будут близки к гармоническим, а угловая скорость медленно изменяться во времени. В первом приближении амплитуда стационарных колебаний а, частота и сдвиг фазы определяются из соотношений

которые были получены В. О. Кононенко методом Крылова-Боголюбова [21]. Уравнение является уравнением динамического равновесия моментов, действующих на вал двигателя. Функция характеризует момент сил сопротивления вращению вала двигателя,

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Задача об устойчивости стационарных периодических движений приводится к анализу алгебраических критериев Рауса-Гурвица. Необходимым условием устойчивости является неравенство

которое физически означает требование достаточной мощности двигателя.

В нерезонансном случае уравнение, аналогичное (4), не содержит малого параметра и характеристики стационарных колебаний определяются из соотношений

которые получаются в результате применения метода Пуанкаре.

Условие устойчивости по-прежнему имеет вид (6).

Для систем с малой вынуждающей силой амплитуды колебаний вдали от резонанса малы, вследствие чего и вид выражения для амплитуды несущественен. Поэтому нелинейные эффекты, сопровождающиеся даже немалым изменением частоты, в системах с малым трением и малой вынуждающей силой можно изучить, имея только резонансное решение.

Вследствие квадратичной зависимости функции от амплитуды а график функции имеет вид резонансной кривой, показанной на рисунке п. 1 таблицы. Искомые значения частоты удобно определять графически (см. п. 1 таблицы) как точки пересечения графиков функций и Это построение показывает, что решение задачи о стационарных колебаниях в общем случае неоднозначно. Эта неоднозначность обусловлена ограниченностью мощности возбуждения, так как при идеальном источнике (двигателе бесконечной мощности) кривая превращается в прямую

Устойчивость колебаний также легко устанавливается геометрически по знакам и величинам углов наклона касательных к кривым и На рисунке п. 1 таблицы точки соответствуют устойчивым режимам, а точка 62 — неустойчивому.

При регулировании двигателя (постоянного тока) кривая на рисунке п. 1 таблицы смещается вверх, если регулирование сопровождается увеличением мощности. В ряде случаев при этом увеличивается и крутизна характеристики Пусть характеристика двигателя имеет вид, показанный на рисунке п. 1 таблицы. При пуске двигателя его ротор разгоняется до угловой скорости, соответствующей стационарному режиму (точка Если теперь квазистационарно увеличивать мощность двигателя, то точка по кривой будет двигаться к точке так, как показано стрелкой на рисунке п. 1 таблицы.

При достаточно остром резонансном пике увеличение частоты будет малозаметно, но амплитуда колебаний будет существенно возрастать. Когда характеристика двигателя займет положение, показанное штриховой линией, резонансный режим будет соответствовать границе устойчивости. При дальнейшем увеличении мощности происходит «срыв колебаний», двигатель начинает разгоняться до установления нового стационарно! о режима с частотой, соответствующей точке пересечения характеристики с участком Дальнейшее увеличение мощности на этом участке приводит к заметному росту частоты.

Описанные механические эффекты — «застревание» двигателя на числе оборотов вблизи резонансной частоты, возрастание амплитуды колебаний без заметного изменения частоты при увеличении мощности и быстрый переход («срыв») резонансной частоты, сопровождающийся резким уменьшением амплитуды, в настоящее время принято называть эффектом Зоммерфельда.

При квазистатическом увеличении мощности (прямом проходе через резонанс) колебания с частотами в интервале между точками (см. рисунок п. 1 таблицы) не реализуемы. При уменьшении мощности (обратном прохождении через резонанс)

не реализуемы колебания с частотами, соответствующими участку Ширина этих участков определяется крутизной характеристики источника энергии. При достижении границы нереализуемого участка происходят срывы колебаний, которые показаны стрелками. Наличие нереализуемых частотных диапазонов также представляет собой динамическое свойство рассматриваемой системы, обусловленное взаимодействием. В случае идеального источника реализуемы колебания со всеми частотами.

Система, в которой колебания возбуждаются силами инерции неуравновешенных вращающихся масс (см. п. 2 таблицы), также является системой с ограниченным возбуждением. Уравнения движения системы в резонансном случае записываются в форме (обозначения см. в таблице) [7, 21]

Малым параметром в технически интересных случаях является отношение массы дебаланса к колеблющейся массе Амплитуда, сдвиг фазы и частота стационарных околорезонансных колебаний определяются соотношениями [21]

где

Нерезонансные стационарные колебания описываются теми же соотношениями (7), что и в предыдущей задаче, только в них следует заменить на Условие устойчивости в обоих случаях (резонансном и нерезонансном) имеет вид (6). Динамические свойства этой системы при проходах через резонанс качественно не отличаются от описанных выше.