Автономные системы, близкие к произвольным нелинейным.

Случай, когда правые части дифференциальных уравнений не зависят явным образом от времени когда исходная система

является автономной, имеет ряд существенных особенностей. Прежде всего, если автономная система имеет некоторое периодическое решение то она непременно имеет также и семейство периодических решений зависящее от произвольного параметра а [уравнения (55) не изменяются при замене на Поэтому будем предполагать, что порождающая система

допускает семейство -ьериодических решений

зависящее, кроме постоянной а, которая всегда может быть добавлена к также от некоторого числа произвольных параметров а; как и ранее, считаем, что эти параметры входят в выражения (57) независимо.

Другая особенность автономной системы состоит в том, что период искомых решений не является заданным; уравнения (55) могут иметь решения любого и притом заранее неизвестного периода который, вообще говоря, будет зависеть от параметра может быть, также от параметров но мы будем предполагать, что эта последняя зависимость отсутствует. Обозначим через период искомого решения, понимая под период порождающего решения (заранее неизвестный), а под неизвестную функцию обращающуюся в нуль при

По упоминавшейся теореме А. Пуанкаре система уравнений (46) имеет в рассматриваемом случае периодических решений с периодом вида

получающихся дифференцированием решений (57) по и по

Пусть система (46) не имеет периодических решений, отличных решений (58) и от их линейных комбинаций, а все прочие решения этой системы при либо неограниченно убывают, либо неограниченно приближаются к указанным периодическим решениям или их комбинациям. Тогда в точности периодических решений будет допускать также и система (49), сопряженная с (46), причем эти решения можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства (53).

При сформулированных условиях справедливо следующее утверждение [7, 381 периодические решения с периодом исходной системы уравнений (55), обращающиеся при в периодические (с периодом не зависящим от параметров решения семейства (57) порождающей системы (56), могут соответствовать лишь тем значениям параметров указанного семейства, которые удовлетворяют уравнениям

Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при достаточно малых значениях единственное аналитическое относительно и устойчивое периодическое решение основной системы с периодом обращающееся при в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени

имеют отрицательные вещественные части. Если уравнение (60) имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то рассматриваемое решение неустойчиво; случай нулевых и чисто мнимых корней требует дополнительного исследования.

С точностью до членов порядка поправка к периоду решения определяется формулой