10. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ

Наиболее эффективно применение этих методов для динамических систем на плоскости; этому случаю соответствуют колебания автономных систем с одной степенью свободы.

Особые точки.

Колебания автономных механических систем с одной степенью свободы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями вида

Введя замену и исключив переменную уравнение (157) можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка

Уравнение (158) определяет на фазовой плоскости поле направлений касательных к интегральным кривым. В тех точках фазовой плоскости, в которых числитель и знаменатель правой части уравнения (158) одновременно обращаются в нуль, направление вектора поля не определено. В этих точках компоненты вектора поля направлений равны нулю. Такие точки называют особыми точками дифференциального уравнения (158). Для механических систем они имеют определенную физическую интерпретацию, так как определяют состояния равновесия (скорость у равна нулю). От характера особых точек зависит поведение интегральных кривых в их окрестности

Остановимся на изучении простейших особых точек или особых точек первого порядка, когда через особую точку либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая. При этом будем исходить из дифференциального уравнения более общего вида

чем уравнение (158).

Под особой точкой дифференциального уравнения (159) будем понимать точку, для которой Пуанкаре показал [55], что дифференциальное уравнение

в котором функции при стремятся к нулю как и коэффициенты таковы, что определитель имеет в начале координат те же особенности, что и более простое (однородное) дифференциальное уравнение

При этом тип особой точки уравнений (160) и (161) определяется за исключением случая, когда через постоянные

Приведем критерии для классификации особых точек уравнения (161). Эти критерии устанавливаются при изучении дифференциального уравнения (161), которое с помощью неособого линейного преобразования

приводится к уравнению простейшего вида

При этом и являются корнями характеристического уравнения

Рис. 26

Интегрирование уравнения (162) позволяет выяснить расположение интегральных кривых в окрестности особой точки (или ), т. е. определить тип особой точки. Судя по уравнению (162), на вид интегральных кривых, определяющих тип особой точки, влияют корни которые зависят от коэффициентов уравнения (161). Подробное рассмотрение классификации особых точек изложено в работах [33, 67].

На рис. 26 приведены возможные типы особых точек для уравнения (161). При вещественных одного знака особая точка — узел (рис, 26, б), при получаем узловые точки, показанные на рис, 26, а, в,

При вещественных разных знаков будет седло (рис. 26, г), при мни центр (рис. 26, д), при и комплексных — фокус (рис. 26, г).

В дальнейшем особую точку будем называть устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, движется ли изображающая точка с возрастанием по фазовой траектории к началу координат или от нею.

Очевидно, судя по уравнению (162), при вещественных узел будет устойчивой особой точкой, а при неустойчивой. При детальном рассмотрении можно показать, что при комплексных фокус будет устойчивой особой точкой, если и неустойчивой, если [67].

Результаты приведенного выше подробного рассмотрения, выраженные через коэффициенты дифференциального уравнения (161), сведены в таблицу.

(см. скан)

Критерии этой классификации справедливы и для более общего дифференциального уравнения (160) при указанных выше предположениях относительно правой части за одним исключением [55]: условие оказывается недостаточным для того, чтобы в случае отличить центр от фокуса; для этой цели в выражении для функций Должны быть рассмотрены члены более высокого порядка.

Как показали последние исследования [71], между интегральными кривыми, описываемыми уравнениями (160) и (161), в окрестности особой точки существует более глубокая связь. Так, если предположить, что функции голоморфны в окрестности точки и она не является центром для уравнения (161), то существует непрерывно дифференцируемая замена переменных

приводящая уравнение (160) в окрестности этой точки к уравнению вида (161)

Важной характеристикой особой точки является ее индекс, введенный Пуанкаре.

Понятие индекса особой точки состоит в следующем. Возьмем некоторую простую замкнутую кривую которая не проходит через особые точки, а в области ограниченной этой кривой, имеется не более одной особой точки. В точках кривой рассмотрим вектор поля касательных определяемый дифференциальными

уравнениями

Если обозначить через угол, образуемый вектором поля с положительным направлением оси то вектор поля при каждом полном обходе контура против часовой стрелки занимает свое прежнее положение, т. е. угол 6 изменяется на где целое положительное или отрицательное число, или нуль. Число называют индексом особой точки. При полном обходе контура вектор поля делает при один оборот по часовой стрелке, при против часовой стрелки, а при колеблется, но в результате остается в прежнем положении.

Исходя из данного определения, легко установить, какой индекс имеет каждая из особых точек, изображенных на рис. 27. Узлы, центры и фокусы имеют индекс седлообразные точки имеют индекс —1, а регулярные точки (т.е. не особые) — индекс 0.

Рис. 27

Индекс замкнутой кривой С, охватывающей некоторое конечное число особых точек, определяют аналогично. Как легко показать [67], этот индекс равен алгебраической сумме индексов особых точек, находящихся внутри кривой С.

В ряде случаев это заключение может быть полезно для качественного исследования. Например, пусть С — замкнутая интегральная кривая без кратных и особых точек. Пусть, далее, при ее обходе против часовой стрелки вектор поля поворачивается на угол в положительном направлении. Следовательно, сумма индексов всех особых точек внутри области, образованной любой замкнутой интегральной кривой, не имеющей особых точек, равна Поэтому внутри замкнутой интегральной кривой должна быть по крайней мере одна особая точка. Если же их несколько (более двух), то число седлообразных точек (с индексом —1) должно быть на единицу меньше числа всех остальных особых точек (с индексом

Примеры исследования особых точек колебательных систем. Рассмотрим свободные нелинейные колебания без затухания, описываемые дифференциальным уравнением

которое на фазовой плоскости можно представить в виде

Пусть тогда начало координат является особой точкой, Положим, что для функции справедливо разложение в ряд

Введем в рассмотрение потенциальную энергию

Интеграл полной энергии

где - кинетическая энергия; полная энергия системы.

Особые точки, соответствующие положениям равновесия системы, могут иметь место при значениях х, удовлетворяющих уравнению Так как согласно то [см. (160)] Следовательно согласно таблице особая точка при будет седлом, а при центром.

Как следует из выражения (166), седлообразные особые точки соответствуют максимуму, а центры—минимуму потенциальной энергии

По функции можно судить о характере движений систему. Изобразим (рис. 28) график этой функции и фазовые траектории в плоскости для различных значений Очевидно, что при переносе начала координат из точки в точки оси абсцисс, уравнение (165) после подстановки переидет в уравнение ранее сделанные заключения будут справедливы для окрестности точки при каждом При значении соответствующем наименьшему минимуму в точке будет состояние покоя. Если где то кривая постоянной энергии будет замкнутой, а особая точка центром. Когда при возрастании достигается значение получаем новое состояние покоя или особую точку —центр. Если то будем получать замкнутые кривые энергии вокруг обеих особых точек типа центр, которые соответствуют периодическим движениям системы.

При потенциальная энергия достигает максимума в точке Поэтому особая точка будет седлом. Интегральная кривая, проходящая через седлообразную точку, будет замкнутой и называется сепаратрисой. Абсциссы этой кривой находятся между абсциссами точек (ординаты точек равны

При появляется новая особая точка — седло проходящая через нее сепаратриса образует слева замкнутую петлю, а справа разомкнутую. Между сепаратрисами существуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие три особые точки (два центра и седло), сумма индексов которых равна

На рис. 28 видно, что сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на ряд областей, заполненных траекториями различных типов.

Рассмотрим движение маятника в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости маятника в направлении, противоположном этой скорости. В этом случае дифференциальное уравнение колебаний маятника

где угол отклонения маятника от нижнего положения равновесия.

На фазовой плоскости уравнение (167) принимает вид

Особые точки, соответствующие положениям равновесия, находятся на оси в точках

Для точки представим уравнение (168) в виде

Согласно данным таблицы и замечанию, приведенным на стр 108, особая точка является либо центром, либо фокусом, что можно определить по членам более высокого порядка

Однако при отсутствии затухания в уравнении особая точка является центром (рис. 29) При наличии затухания компоненты вектора поля в соответствии с (168) принимают вид Из последних выражений следует, что при вектор поля будет повернут по отношению к вектору поля при в сторону внутренней области замкнутых интегральных кривых. Таким образом, все интегральные кривые для стремятся к особой точке при возрастании т. е. особая точка устойчивый фокус. Особая точка (с учетом высказанного замечания о переносе начала координат в особую точку) является седлом.

Рис. 28

Рис. 29

Итак, особые точки являются особыми точками типа устойчивого фокуса при четном и седлообразными точками при нечетном

Расположение интегральных кривых уравнения (168) показано на рис. 30. Предположим, что маятнику, находящемуся в положении сообщен импульс, после чего он приобретает угловую скорость Если она невелика рис. 30), то маятник совершает затухающие колебании около точки оси не делая полного оборота вокруг точки подвеса. Если эта скорость достаточно велика то маятник сделает одни или несколько оборотов, прежде чем начнет совершать затухающие колебания относительно

1 его положения устойчивого равновесия. В фазовой плоскости этим движениям соответствуют (см рис. 30) спиральные кривые, проходящие через точку приближающиеся к тому или иному фокусу в зависимости от величины Таким образом, можно указать интервал начальных скоростей маятника, при которых движение осуществится с предварительно заданным числом оборотов