7. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ, ЦЕЛИКОМ ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ

Алгоритм построения асимптотического разложения решения.

Рассмотрим задачу о движении твердого тела с полостью, целиком заполненней вязкой жидкостью, относительно центра масс в потенциальном поле сил.

Движение системы описывается уравнениями (5), (6), (15) с граничным (7) и начальными условиями, которые представим в виде (принимая за единицы длины и

времени характерные линейный размер области и время в движении тела относительно центра масс)

Эти уравнения будем рассматривать в предположении, что вязкость жидкости велика. Тогда, как показано в работах [4, 30], для построения асимптотического (по малому параметру решения этих уравнений на интервале времени имеющем величину порядка можно применить теорию систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных [2].

Построим сначала формальное решение системы (53) в виде степенных рядов по малому параметру

Подставляя (54) в (53) и приравнивая члены при одинаковых степенях для определения получим квазистационарные краевые задачи, содержащие время в качестве параметра. Эти функции зависят от геометрии полости и не зависят от движения тела. После определения для нахождения составим дифференциальные уравнения с начальными условиями, задаваемыми специальным образом [4].

Построим далее формальное решение системы (53), предварительно перейдя в ней к «быстрому» времени в виде разложений

Краевые задачи для функций получаются нестационарные. Начальные условия для функций зададим следующим образом:

Разложим теперь все коэффициенты рядов (54) по степеням

Подставим в (54), сделаем замену в получившихся формальных разложениях и перегруппируем члены этих разложений так, чтобы получились ряды по степеням 8, коэффициенты которых при степени обозначим соответственно

через тогда

Составим, наконец, следующие выражения:

где означает частичные суммы рядов (54), (55) и (57) до степени по параметру

Выражения (58) являются частичными суммами асимптотических разложений решения задачи (53). Для достаточно малых значений на произвольном конечном отрезке времени , справедливы следующие оценки отклонений частичных сумм асимптотических разложений от точного решения задачи (53):

где постоянная, независящая от норма в Функции с верхним индексом 2 быстро затухают со временем, и их влияние существенно только в пограничном слое (по времени) где достаточно большая, но фиксированная при постоянная. Вне пограничного слоя на отрезке в (59) вместо можно взять [4].

Таким образом, решение задачи (53) разбивается на две части, которые можно выполнять независимо. Первая, гидродинамическая часть задачи, сводится к решению некоторых стандартных краевых задач, зависящих от формы полости и не зависящих от движения тела, и затем к вычислению коэффициентов, характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению уравнений движения тела и не требует решения уравнений с частными производными. В значительной степени ход решения подобен тому, который имеет место для идеальной жидкости.

Построение асимптотики решения задачи (53) с точностью до членов порядка Для определения нулевого приближения к решению задачи (53) вне интервала времени имеем уравнения

Обозначим через решение этого уравнения и выпишем систему для определения первого приближения

Значения находят из уравнений

Решение задачи (60) приведено в работе [30], где показано, что

здесь симметричный тензор, зависящий лишь от области С учетом последнего соотношения для функции окончательно получаем

Сумма представляет собой первые два члена разложения маклореновского типа решения системы (53) вне пограничного слоя

При движении системы по инерции качественный анализ поведения решений уравнений (61) приведен в работе [30], где на основе изложенного метода исследован также ряд других задач динамики тела с жидкостью в случае как полного, так и частичного заполнения полости.