Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости.

Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем. На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области К существует по крайней мере одна замкнутая траектория,

если вектор скорости направлен везде либо внутрь, либо наружу. Причем если вектор скорости направлен внутрь (наружу) кольцеобразной области, то в ней заключена устойчивая (неустойчивая) замкнутая траектория. При практическом использовании принципа кольца возникают трудности, связанные с выбором кольцеобразных областей. Часто выделяют замкнутые области с помощью систем кривых Изучая поведение вектора скорости изображающей точки на этих кривых, т. е. поведение производной функции

можно проверить применимость принципа кольца в области Так, например, если за систему кривых взять систему окружностей то в области существует: 1) устойчивый предельный цикл (устойчивая замкнутая траектория) системы (163), если выражение неотрицательно для неположительно для и внутри К. нет особых точек системы (163); 2) неустойчивый предельный цикл системы (163), если выраженге имеет знаки, обратные указанным, и внутри К нет особых точек системы.

Рис. 30

Выбор сложных систем кривых приводит к более тонким признакам наличия колебательных процессов в рассматриваемых системах. Приведем некоторые из них для колебательной системы, описываемой уравнением второго порядка

Для существования хотя бы одной замкнутой траектории, соответствующей колебательному режиму в системе, описываемой уравнением (1691, достаточно выполнения одной из приведенных ниже систем условий:

2) и существуют такие значения и что при при при произвольно убывающей положительной функции

3) для достаточно малых при и при

4) существует число и такие числа что если и если

B. 1) - нечетная функция, такая, что при

3) нечетная функция, причем существует значение такое, что при и монотонно возрастает при