4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ОДНОМАССНЫХ ВУС

При анализе устойчивости периодических режимов ВУС в движение вносят малые возмущения и исследуют характер изменения этих возмущений, под устойчивостью понимают устойчивость в малом. Проиллюстрируем метод анализа устойчивости одномассных ВУС на примере динамической модели, приведенной на рис. 7, а.

Возмущенное движение звена на интервале между соударениями определяют двумя безразмерными величинами возмущений: момента соударения и — начальной скорости после соударения [положение звена при соударении задается координатой ударника Закон возмущенного движения звена вверх имеет вид

Соотношение (19) позволяет найти возмущение положения звена в момент когда его скорость обращается в нуль (в этот момент изменяется направление силы сухого трения). Дифференцируя (19) по и приравнивая скорость возмущенного движения при нулю, находим

Максимальное значение для возмущенного движения определяется из условия с точностью до величин первого порядка малости относительно

Из (20) и (21), используя (7), (8), определяем

Закон возмущенного движения звена вниз имеет вид

Возмущение момента следующего соударения можно найти, линеаризуя условие :

Возмущение скорости звена перед соударением определяем, дифференцируя (22; при откуда

Теперь возмущение скорости после этого соударения находится из уравнения удара (3)

Соотношения (23) и (24) определяют преобразование возмущений за цикл возмущенного движения, в течение которого происходит одно соударение. Периодическое движение устойчиво, если при увеличении числа циклов возмущения стремятся к нулю. Для этого корни характеристического уравнения матрицы, элементы которой совпадают с коэффициентами при в (23) (24),

где

должны удовлетворять условиям

Условия (26) для корней уравнения (25) согласно теореме Шура эквивалентны неравенствам

Первое неравенство всегда выполняется, если ВУС неконсервативна или Второе неравенство определяет область устойчивых значений фазы для режимов непрерывного подбрасывания

Из (28) следует, что: 1) из двух режимов, определяемых для каждой кратности I фазовым уравнением (9), устойчив только один; 2) при одних и тех же значениях параметров системы и возбуждения могут быть устойчивы режимы различных кратностей; выход ВУС на тот или иной из устойчивых режимов определяется начальными условиями движения.

Рис. 8

Используя (9), получим из (28) условие существования и устойчивости режимов в пространстве параметров

На рис. 8 в качестве примера показаны области устойчивости периодических режимов движения кратности в плоскости параметров при различных значениях

Результаты анализа устойчивости периодических движений одномассных ВУС приведены в табл. 1, где указаны коэффициенты и характеристического уравнения (всюду Условия (27) позволяют определить значения соответствующие устойчивым режимам, а фазовые уравнения — найти области устойчивости в пространстве параметров.