4. АВТОКОЛЕБАНИЯ ТИПА ШИММИ

На колесе основной стойки шасси (как и на передней стойке) при определенных скоростях движения самолета на земле возникает самовозбуждение колебаний Эти колебания, состоящие из поворотов колеса относительно вертикальной оси стойки и боковых смещений, получили название шимми. Возможность поперечных смещений колеса появляется из-за наличия упругого пневматика и вследствие упругости стойки [7, 11, 14],

Пусть самолет на земле совершает прямолинейное и равномерное движение При этом стойка обладает упругостью в поперечном направлении и может поворачиваться вокруг своей оси Для упрощения принимают стойку жесткой с упругой заделкой цилиндра стойки на недеформируемом планере в точке (рис 8) При этом цилиндр может поворачиваться относительно оси (рис. 9) Ориентирующая часть шасси, имеющая два колеса, способна поворачиваться относительно оси цилиндра. Между цилиндром и штоком амортизатора поставлены демпфер и пружина.

Рис. 8

Рис. 9

Положение системы (без учета собственного вращения колес) определяют четыре обобщенные координаты: угол поворота стойкости относительно оси —угол поворота ориентирующейся части стойки относительно оси стойки, а также параметры деформации пневматика; боковая деформация и угловая деформация.

Режим стационарного движения для стойки с пневматикой будет осуществляться при значениях обобщенных координат При исследовании малых отклонений от этого стационарного движения величины считаем малыми Составляя выражения для кинетической и потенциальной энергий, а также вычисляя обобщенные силы, соответствующие нормальной реакции, которую принимаем постоянной, получаем линеаризованные уравнения движения системы при малых отклонениях от стационарного состояния в виде

где моменты инерции; жесткости условного упругого элемента, учитывающего реальную упругость деталей стойки на кручение и изгиб;

скорость движения; радиус необжатого пневматика; вынос колес; соответственно боковая и крутильная жесткости двух пневматиков; коэффициенты демпфирования соответственно по углам — кинематические коэффициенты качения пневматика

Первые два уравнения системы (9) определяют малые колебания стойки, два последних являются уравнениями неголономных связей

Исследование устойчивости автоколебаний системы (9) проведем для случая жесткой заделки цилиндра стойки Смещение колеса определяется лишь углом поворота колес вокруг вертикальной оси стойки, а также деформацией пневматика

Характеристическое уравнение, определяющее устойчивость невозмущенного движения, имеет вид

где

Применение критериев устойчивости Рауса-Гурвица приводит при к следующему соотношению, определяющему в пространстве параметров области существования устойчивых движений:

Из (11) следует, что без демпфирования по углу качение упругого колеса устойчиво при выполнении одного из неравенств

выделяющих в пространстве параметров системы области устойчивости, вид которых в плоскости приведен на рис 10.

Рис. 10

Из (12) следует, что при скоростях

изучаемая система устойчива для значений выноса удовлетворяющих неравенству —

Если вынос положительный и больше то устойчивое движение возможно лишь при скоростях где

Заметим, что с ростом скорости движения потребная жесткость стойки на кручение условного упругого элемента ствр увеличивается. Однако с увеличением при область существования устойчивого режима определяется неравенством хотя при потребная величина жесткости должна быть больше

Для изучения влияния вводится новая переменная и параметры [14]. Тогда характеристическое уравнение (10) принимает вид

Подставляя в получим уравнение уникурсальной кривой -разбиения

где

Определитель, от которого зависит штриховка уникурсальной кривой [13],

Вид кривой -разбиения при различных значениях выноса и положительных представлен на рис 11, где

Из приведенных рисунков следует, что при для любых значений автоколебания не возникают, а при существуют области самовозбуждения колебаний

Рис. 11

При изменении параметров системы переход через границу области устойчивости сопровождается уходом системы от состояния стационарного движения либо монотонно, либо в виде колебаний [14]

Выше проведено исследование возникновения автоколебаний в динамической системе, описываемой линейной системой дифференциальных уравнений.

Рис. 12

Однако важно изучить явление самовозбуждения колебаний типа шимми в нелинейных системах, описывающих, например, характеристику демпфера, сухое трение и т. д. Изучение проведем на примере передних стоек с самоориентирующимся колесом для случая абсолютно жестких стоек, вилок и привода демпфера и при условии, что центр контакта пневматика движется по прямой линии Тогда система

дифференцнальных уравнений может быть записана в виде

где соответственно угол и скорость поворота вилки вокруг оси стойки, — момент инерции Пусть демпфер имеет одну из трех характеристик, приведенных на рис 12

Наряду с системой (15) рассмотрим вспомогательную систему с линейной характеристикой демпфера Условием Рауса-Гурвица, обеспечивающим устойчивость невозмущепного движения при положительных значениях параметров, является неравенство

Из этого неравенства следует, что при нулевое решение устойчиво, если а при оно устойчиво, если где положительный корень уравнения Причем можно указать такое значение что при линейная система будет устойчива

Рассмотрим плоскость и предположим, что На рис 13 показаны области устойчивости для характеристики Из рисунка следует, что при любом значении невозмущенное движение неустойчиво,

Рис. 13.

Рис. 14

Рис. 15

Можно указать значение после превышения которого возмущения по координате убывают В системе возникнут автоколебания с амплитудой по равной Максимальное значение амплитуды уменьшается с ростом

Для характеристики демпфера (рис 12, б) при невозмущенное движение неустойчиво Амплитуда автоколебаний по координате при этом определяется по формуле При система абсолютно устойчива [15]. На рис. 14 показаны области устойчивости для характеристики

Если характеристика демпфера

то при будет иметь место случай, изображенный на рис. 15. о. Из приведенного рисунка видно, что можно указать максимально допустимое значение возмущения после превышения которого система неустойчива. При меньших начальных отклонениях возмущения затухают и нулевое решение устойчиво. При система устойчива (рис. 15, б).

В случае больших выносов любая из трех рассмотренных нелинейностей расположена внутри заштрихованных областей, и поэтому в данном случае система устойчива.

Рис. 16

Для приближенного исследования рассматриваемых динамических систем, в частности для определения амплитуды и частоты автоколебаний, можно применять метод гармонического баланса, который дает правильные результаты в случаях, когда колебания в системе близки к гармоническим [16] Систему (15) перепишем в виде

Выделим в системе (17) линейную и нелинейную части и построим ее структурную схему (рис. 16) Допустим, что система находится на границе устойчивости и в ней возникли незатухающие колебания частоты и амплитуды А на входе нелинейного элемента. Тогда уравнения первого приближения согласно (17) имеют вид

где амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы, определяемая соотношением

эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента,

Используя соотношения (19), можно записать выражения для каждой из трех характеристик (см рис 12) соответственно в виде

Из системы (18) следует, что уравнение, соответствующее свободным колебаниям записывается в виде ; используя это уравнение получаем соотношения, определяющие соответственно частоту и амплитуду А колебаний

Из первого уравнения следует, что частоту автоколебаний можно определить через параметры системы по формуле

а из второго — что при больших выносах не существует положительных значений А, и поэтому невозмущенное движение устойчиво При возможны автоколебания, амплитуда которых зависит от типа нелинейностей В частности, при квадратичной характеристике демпфера амплитуда автоколебаний

Сравнивая значения амплитуд А, полученных методом гармонического баланса [см (22)] и графоаналитическим методом, можно показать, что характеристики амплитуда автоколебаний

Из (23) при учете (16) следует, что при для невозмущенное движение устойчиво, а при выносах возникают автоколебания с амплитудой А. Сравнивая ее значение с ранее найденным, получим