4. О ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

При анализе ряда технических устройств (телефонов, электрических преобразователей сигналов и .) уравнения электромеханических колебаний можно линеаризовать. Рассмотрим общий случай, когда линеаризация возможна. Пусть а переменная мала по сравнению с Пусть силы складываются из сил вязкого трения, постоянной и малой переменной частей:

Пусть токи проводимости замкнутые. При этом токи и обобщенные координаты можно искать в виде суммы постоянной и малой переменной частей и удерживать при вычислениях немалые члены и члены первого порядка. Постоянные компоненты токов определяются из уравнений

Для определения немалых компонент координат получается задача о механическом равновесии под действием сил и постоянных компонент пондеромоторных сил:

где

Переменные компоненты токов и координат находятся из линейных уравнений, получающихся из (17) и (6):

где

Две группы уравнений (35) связаны посредством членов с коэффициентами Поскольку аналогичны обобщенным скоростям, то эти члены аналогичны гироскопическим силам в механике.

Рис. 3

Более частный, но интересный случай, когда получаются линейные уравнения, составляют электродинамические приборы, стенды и т. д. В этих устройствах проводник с током движется в поле, созданном другим током, причем последний обычно можно считать заданным и постоянным; от перемещений зависит только коэффициент взаимной индукции контуров этих двух токов. Пусть проводник движется перпендикулярно полю, созданному заданным током (рис. 3), и при движении проводника поток через площадку не изменяется. Тогда при перемещении проводника приращение потока будет равно потоку вектора В через площадку Следовательно,

где I — длина отрезка поток вектора В через и В пропорциональны заданному току (2, так что второй член в правой части (37) есть иначе записанная величина Записав по (37) и (18) выражение для энергии поля

и предполагая систему механически линейной, можно составить уравнения Лагранжа-Максвелла:

Выражения для пондеромоторной силы и ЭДС движения — соответствуют известным правилам «левой и правой руки».

Требование, чтобы система описывалась линейными уравнениями, предъявляется к устройствам для преобразования электрического сигнала в механический или механического в электрический. Но для силовых устройств (электрических машин, вибраторов и т. д.) это требование обычно не обязательно. Поэтому их динамику следует изучать с помощью методов нелинейной механики.