3. СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Общий случай слабо связанных объектов [10, 29]. Задача о внешней синхронизации. Пусть система описывается дифференциальными уравнениями типа (2), но функции явно зависят от времени и имеют период по этому аргументу. Пусть далее порождающая система имеет синхронное решение вида (6), а уравнения в вариациях, соответствующие уравнениям изолированных объектов (4) и системы связи (5), допускают в точности периодических (с периодом решений

получающихся согласно теореме А. Пуанкаре (см. стр. 53) пугем последовательного дифференцирования функций (6) по Пусть все прочие независимые решения системы в вариациях неограниченно убывают при Тогда основные уравнения задачи имеют вид

а условия устойчивости выражаются в виде требования отрицательности вещественных частей корней уравнения (8). Через в равенствах (10) обозначено единственное -периодическое решение системы, сопряженной с системой в вариациях изолированного объекта, т. е. объекта, описываемого уравнением (4), причем предполагается, что это решение удовлетворяет условию

где ранее введенное решение системы в вариациях, соответствующей изолированному объекту [см. формулы (9)].

Задача о внутренней синхронизации. Пусть при тех же условиях, что и выше, система является автономной, т. е. описывается уравнениями (2), правые части которых явным образом не зависят от времени Тогда, если период порождающего решения заранее неизвестен и определяется из условия обращения в нуль первой поправки к периоду искомого решения, то одна из фаз например может быть положена равной нулю, а фазы и период определяются из той же системы основных уравнений. Однако условие устойчивости рассматриваемого решения теперь состоит в требовании отрицательности лишь корня х уравнения (8). Один из корней указанного уравнения в данном случае непременно равен нулю; его наличие не влияет на устойчивость. Случай известного периода порождающего решения рассмотрен в работах [10, 29].

Квазилинейные объекты с одной степенью свободы (квазилинейные осцилляторы). Уравнения движения рассматриваемой системы (в неавтономном случае) имеют вид

где обобщенные координаты объектов; — фазовые координаты системы связи; и — неотрицательные постоянные; предполагаются -периодическими функциями под понимается совокупность соответственно всех переменных и

К рассмотрению подобных систем, наиболее простых для исследования, приводятся многие задачи о синхронизации ламповых генераторов, механических и электромагнитных возбудителей колебаний и т. п.

Результат решения задачи существенно зависит от характера порождающей системы, а также от свойств системы уравнений в вариациях

составленной для порождающей системы и порождающего синхронного решения. Эта система состоит из независимых линейных уравнений с постоянными коэффициентами и из системы уравнений, поведение решений которых при совпадает с поведением решений более простой системы

Если предполагать, что все решения этой системы неограниченно убывают при то характер решения задачи о синхронизации будет определяться в основном коэффициентами в уравнениях объектов.

Прикладной интерес представляют случаи, когда либо коэффициент мал или равен нулю, а коэффициент не мал (квазиконсервативный квазилинейный осциллятор, либо когда коэффициент равен нулю (обьект с почти равномерным вращением), причем соответствующий коэффициент может быть как малым (квазиконсервативная идеализация), так и не малым (неквазиконсервативная идеализация). Соответствующие случаи в несколько конкретизированном виде рассмотрены ниже в данном пункте, а также в п. 4. Общий случай изучен в книге [10].

В настоящее время имеется большое число работ, посвященных изучению захватывания и синхронизации квазилинейных квазиконсервативных осцилляторов применительно к задачам радиоэлектроники. Первые из этих исследований, принадлежащие Эпплтону [39], Ван-дер-Полю [18], Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси [33], А. А. Андронову и А. А. Витту [1-3], А. Майеру [41], сыграли существенную роль в развитии теории нелинейных колебаний.

Системы с почти равномерными вращательными движениями [7, 9, 10]. Во многих задачах о синхронизации механических систем обобщенные координаты могут быть выбраны так, что часть из них являются вращательными и в синхронных движениях изменяются по закону, близкому к равномерному вращению, причем связи между соответствующими степенями свободы можно считать слабыми; прочие обобщенные координаты являются колебательными. Инымн словами, синхронные движения указанных систем имеют вид

где взаимно простые целые положительные числа; постоянные; периодические функции с периодом причем можно считать, что К рассматриваемым системам относятся, в частности, многие вибрационные машины и установки, гибкие валы с неуравновешенными дисками, устройства для динамической балансировки неуравновешенных роторов, а также электромеханические системы с параллельно работающими синхронными машинами, некоторые системы, изучаемые в небесной механике [10].

В соответствии с предположениями о характере изучаемого синхронного движения считаем, что по крайней мере в его окрестности уравнения Лангранжа рассматриваемых систем могут быть представлены в форме

где функция Лагранжа системы соответственно кинетическая и потенциальная энергии);

и - положительные постоянные; — неконсервативные обобщенные силы. Считаем, что функции и могут быть -периодическими

функциями времени и что характер зависимости этих функций от и от таков, что после подстановки (15) они становятся (или остаются) -периодическими функциями

Соответствующая уравнениям (16), (17) порождающая система допускает для вращательных координат систему решений

зависящую от произвольных параметров Пусть

— соответствующее -периодическое решение порождающих уравнений, отвечающих уравнениям (17), которое предполагаем существующим и асимптотически устойчивым при всех рассматриваемых значениях

При указанных предположениях основные уравнения могут быть представлены в форме

где

здесь есть функции Лагранжа изолированных объектов, причем согласно

Уравнения (21) могут быть истолкованы как уравнения равновесия средних моментов или как уравнения баланса энергии, подводимой к объекту и расходуемой им. При этом производные по физическому смыслу представляют собой средние моменты, которые часто не связаны с притоком или потерями энергии в системе, а характеризуют лишь перераспределение энергии между объектами, необходимое для синхронизации. Это так, если, например, функция Лагранжа системы не зависит явно от времени и поэтому замена на в решениях (19) не должна изменять значения т.е. и поэтому Но тогда, складывая уравнения (21), умноженные на получаем равенство

которое является уравнением баланса энергии в системе (в порождающем приближении) и в случае задачи о внешней синхронизации служит для определения исходного приближения к синхронной частоте

Величина которую можно назвать избыточным моментом объекта, представляет собой средний момент неконсервативных сил, приведенных к координате она является разностью между притоком и расходом энергии при синхронном движении объекта, Эта разность и компенсируется моментом

В задаче о внутренней синхронизации автоколебательных объектов при когда наличие неконсервативных сил по колебательным координатам не вызывает диссипации энергии, уравнения

представляют собой уравнения равновесия усредненных неконсервативных сил или уравнения баланса энергии внутри несвязанных объектов. Обычно эти уравнения служат для определения парциальных частот объектов т. е. частот (средних угловых скоростей), которые имели бы объекты в изолированном состоянии (но, естественно, при учете собственных неконсервативных сил

Одна из важнейших закономерностей явления взаимной синхронизации состоит в том, что оно может наступить при существенном отличии частот от парциальных (см. п. 8).

Если существует функция такая, что

(назовем эту функцию потенциалом избыточных усредненных неконсервативных сил то за потенциальную функцию может быть принято выражение

Если функцию Лагранжа системы можно представить в форме

где постоянные; — функции перечисленных аргументов, причем периодичны по с периодом и к тому же то справедливо соотношение

и потенциальную функцию можно записать в одной из двух форм

Заметим, что слагаемые в выражениях (27) представляют собой соответственно лагранжианы связей первого и второго рода (см. ниже). В задаче о внешней синхронизации условия устойчивости синхронного движения, как и выше, сводятся к требованию отрицательности вещественных частей всех корней уравнения (8).

Слабо связанные квазиконсервативные объекты. Изложенное выше допускает обобщение на случай слабо связанных консервативных объектов Состояние объекта определяется вектор-столбцом обобщенных координат где в отличие от предыдущего есть число степеней свободы объекта. Применительно ко многим приложениям, преимущественно из области механики, целесообразно различать два рода связей (взаимодействий) между объектами, Связи первого рода, состояние которых определяется вектор-столбцом обобщенных координат можно трактовать как обусловленные наличием некоторого «несущего тела» или системы «несущих тел» с существенными степенями свободы. Объекты, связанные с указанными телами, приобретают некоторую дополнительную подвижность, так что их суммарные кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде

где

— «собственные», — добавочные кинетическая и потенциальная энергии объектов, причем под х понимаем совокупность всех векторов Собственные кинетическую и потенциальную энергии связей первого рода обозначим соответственно через и

Связи второго рода условно можно назвать несомыми. Они не приводят к увеличению подвижности объектов, но их наличие также может быть (хотя и не обязательно) связано с увеличением числа степеней свободы взаимосвязанной системы, так что для определения состояния системы необходимо кроме задать также вектор обобщенных координат Кинетическую и потенциальную энергию связей второго рода обозначим соответственно через

Разный физический смысл связей первого и второго рода может быть пояснен на примерах задач о синхронизации орбитальных систем (см. п. 4).

В соответствии с предположением о слабости связей между объектами следует считать, что после наложения связей общие кинетическая и потенциальная энергии системы в целом изменяются незначительно, т. е. можно положить

где через обозначенычлены, имеющиепорядок малого параметра Предполагаем, что обобщенные неконсервативные силы, соответствующие координатам объектов, имеют порядок не ниже причем составляющие этих сил порядка считаем зависящими только от координат и скоростей объекта, а также, быть может (в случае задачи о внешней синхронизации), от времени с периодом внешнего возмущения, т. е. Обобщенные неконсервативные силы соответствующие координатам системы связей, вообще говоря, могут быть немалыми и зависеть от всех координат системы.

Порождающая система в рассматриваемом случае состоит из отдельных консервативных автономных систем, описывающих движение изолированных объектов, и из порождающих уравнений системы связей. Предполагаем, что каждая из указанных систем допускает в некоторой области пространства решение вгда

где произвольные постоянные; периодические функции с периодом равно нулю для колебательных и единице для вращательных координат. Постоянные как и ранее, представляют собой начальные фазы движения объектов, а постоянные на траекториях, соответствующих решению (32), взаимно и однозначно связаны с постоянной энергии

От постоянной а значит, и от зависит и частота решения (32); эта частота изменяется для решений (32), лежащих в области в некотором диапазоне

Синхронные движения объектов с частотами кратными частоте возмущения возможны при условии, что частоты лежат внутри этих диапазонов.

Предположим вначале, что каждому решению (32) при всех рассматриваемых соответствует по крайней мере одно -периодическое решение порождающих уравнений системы связей

зависящее от тех же постоянных с и а, что и решение (32), и являющееся асимптотически устойчивым. Будем считать, что объекты существенно анизохронны внутри областей т. е. что протяженности частотных диапазонов а также производные не малы. Объекты, изохронные в порождающем приближении (квазилинейные квазиконсервативные), требуют особого изучения [17, 28]. Синхронизация простейших объектов этого типа рассмотрена в п. 4.

При сформулированных предположениях параметры определяются из равенств

а уравнения для определения начальных фаз (основные уравнения) могут быть записаны в виде

где

причем и есть функции Лагранжа соответствующих связей;

— крутизна частотной характеристики объекта говорят, что объекты жестко анизохронные, при мягко анизохронные и при - изохронные);

— среднее за период значение неконсервативных обобщенных сил, приведенное к объекту, причем есть не содержащие составляющие обобщенных сил, соответствующие координатам

Относительно физического смысла уравнений (36) и отдельных слагаемых в них справедливо все сказанное по поводу уравнений (21). В частности, при справедливо уравнение баланса энергии (23), а при равенстве нулю двух последних слагаемых в формуле (38) — соотношения (24) для определения парциальных частот объектов Если существует потенциал усредненных неконсервативных сил т. е. функция, удовлетворяющая равенствам (25), а также если характер анизохроиизма всех объектов одинаков, т. е.

то за потенциальную функцию можно принять выражение

которое представляет собой обобщение выражения (26), поскольку объекты с почти равномерными вращениями являются жестко аиизохронными

Если уравнения несущих связей в порождающем приближении представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а иеконсервативиые обобщенные силы, соответствующие координатам системы связи, малы то справедливо соотношение и выражение (36) можно представить в форме

Согласно (40) и (41) характер экстремума функции В или соответствующего устойчивым движениям, меняется в зависимости от характера анизохронизма объектов, а действие связей первого и второго рода в известном смысле противоположно В отличие от систем с почти равномерными вращениями условия устойчивости, выражаемые с помощью уравнения (8) или условия минимума функции в данном случае являются лишь необходимыми; кроме того, для устойчивости корни уравнения (8) должны быть вещественными и отрицательными. Дополнительные соотношения, дающие систему необходимых и достаточных условий, можно получить на основе результатов работы [31]. В частном случае квазиконсервативных объектов с одной степенью свободы при наличии связей, не вносящих в систему новых степеней свободы, указанные дополнительные условия устойчивости сводятся к неравенствам [30]

которые должны выполняться для каждой системы постоянных определяемых из линейной однородной системы уравнений

при каждом из значений корней х уравнения (8); через обозначен обобщенный импульс объекта. Поскольку в рассматриваемом случае величины не зависят от то уравнения (43) могут быть записаны также в форме

В случае, когда и характер аиизохронизма всех объектов одинаков [см. (39)], дополнительные условия (42) непременно выполняются и указанные выше необходимые условия являются также и достаточными. Для квазиконсервативных объектов с линейными несущими связями дополнительные устойчивости получены в работе [32].

В более общем случае неизохронных квазиконсервативных объектов, когда порождающее решение зависит не только от фаз а к, но квазик и от других произвольных параметров, можно воспользоваться результатами работы [31]. Из анализа этих результатов вытекает, что приведенные выше условия устойчивости сохраняют роль необходимых в сравнительно широком классе случаев. Решение ряда конкретных задач о синхронизации показывает, что указанные условия играют основную роль в отборе устойчивых фазировок объектов.