2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Уравнение движения в форме Лагранжа при имеет вид

где обобщенная координата; а — инерционный коэффициент, зависящий от

Положения равновесия консервативной системы определяются из условия экстремума потенциальной энергии Устойчивому равновесию соответствует минимум а неустойчивому — максимум потенциальной энергии. Уравнение (3) можно всегда проинтегрировать в квадратурах.

В консервативной системе с одной степенью свободы возможны движения четырех типов: либрационные (колебательные), ротационные, убегающие и лимитационные. Если уравнение

имеет два последовательных простых кория причем в интервале выполняется неравенство то уравнение (3) допускает периодическое решение либрационного типа, период которого, вообще говоря, зависит постоянной энергии и равен

Т — периодическое решение либрационного типа характеризуется тем, что всегда и его можно представить в виде ряда Фурье

где фаза колебаний

а — произвольный фазовый сдвиг, угловая частота. Величину полуразмаха колебаний

можно считать соответствующей амплитуде колебаний. Произвольному решению уравнения (3) при фиксированном значении постоянной энергии соответствует на фазовой плоскости некоторая симметричная относительно оси фазовая траектория, уравнение которой

является одновременно интегралом энергии (2). Фазовая траектория либрации замкнута и ограничивает на плоскости площадь

где

называется постоянной действия.

Постоянные энергии и действия взаимно однозначно и непрерывно связаны:

Периодические движения ротационного типа существуют, если и обобщенная координата есть угол. Ротации периодичны в том смысле, что где фаза вращения, определяемая по формуле (7); — средняя угловая скорость; указатель направления вращения. Поэтому возможно разложение

Период периодической ротации [4]

Для движений ротационного типа также справедливо соотношение (12), причем постоянная действия вводится согласно первому из выражений (11). Если отождествить величины и в связи с этим рассматривать не фазовую плоскость, а фазовый цилиндр то фазовые траектории периодических ротаций будут также замкнутыми.

Непериодические движения убегающего типа существуют, если потенциальная энергия при и характеризуется тем, что модули при беспредельном увеличении или беспредельном уменьшении времени также увеличиваются до бесконечности. Убегающие движения этого типа характерны для случаев действия сил отталкивания. Убегающие движения иного типа, для которых импульс ограничен при любых возможны, если энергия не периодична по

Движения особого, лимитационного типа существуют только при дискретных значениях постоянной энергии , совпадающих со значениями этой постоянной в точках положений неустойчивого равновесия:

Лимитационные движения характеризуются тем, что при беспредельном увеличении или уменьшении времени Соответствующие им фазовые траектории называют сепаратрисами. Для убегающих и лимитационных движений постоянная действия (11) смысла не имеет.

Фазовая плоскость симметрична относительно оси наиболее общем случае конечным или счетным числом сепаратрис делится на соответственно конечное или счетное число областей, сплошь заполненных фазовыми траекториями либрационного, ротационного или убегающего типов. Таким образом, сепаратрисы разделяют области движений существенно различных типов, например области периодических либрации и ротаций.