Согласно соотношению (1.2.21), для системы с одной степенью свободы и независящим от времени гамильтонианом $H$ величина
\[
H(p, q)=E
\]

является интегралом движения. Поэтому все такие системы интегрируемы. При этом импульс $p$ зависит только от координаты $q$ (но не от времени). Разрешив (1.3.1), получим
\[
p=p(q, E) \text {. }
\]
1) В отечественной литературе используется также не совсем удачный термин – однозначный (конечнозначный) интеграл. Заметим, что понятия изолирующий и глобальный характеризуют, вообще говоря, разные свойства интеграла движения, поскольку кизоляция» может быть и локальной как, например, в теории КАМ (см. п. 3.2а ниже). Исключение с помощью каждого интеграла одной степени свободы, т. е. двух динамических перененных, возможно только при условии обсуждаемой ниже инволюции, или коммутирования, интегралов, что означает совместимость соответствующих им циклических координат. В противном случае интеграл позволяет исключить лишь одну динамическую переменную (см., например, [337], п. 14).- Прим. ред.

Зависимость переменных $p$ и $q$ от времени можно определить из второго уравнения Гамильтона (1.2.6б), которое дает
\[
d t=\frac{d q}{\partial H / \partial p},
\]

или, после интегрирования,
\[
t=\int_{q_{v}}^{q} \frac{d q}{\partial H / \partial p} .
\]

Так как $\partial H / \partial p$ зависит только от переменных $p$ и $q$, которые связаны соотношением (1.3.2), то интегрирование уравнений движения сводится к квадратуре. Однако интеграл можно найти, вообще говоря, только численно.
Модель маятника. Проиллюстрируем описанную выше процедуру на простом примере маятника. Подобный гамильтониан возникает по существу во всех задачах с нелинейными резонансами, и эта модель лежит в основе нашего подхода к нелинейной динамике, рассматриваемой в последующих главах. Уравнения движения маятника имеют вид
\[
\dot{p}=-F \sin \varphi, \quad \dot{\varphi}=G p,
\]

где $F=m g h ; G=1 /\left(m h^{2}\right) ; m g$ – сила тяжести, действующая на массу $m ; h$ – длина маятника. Угол отклонения от вертикали $\varphi$ и момент импульса $p$, сопряженный $\varphi$, удовлетворяют уравнениям Гамильтона. Гамильтониан есть сумма кинетической энергии $\frac{1}{2} G p^{2}$ и потенциальной энергии $U=-F \cos \varphi$ :
\[
H=\frac{1}{2} G p^{2}-F \cos \varphi=E .
\]

Соотношение (1.3.4) сводит задачу к квадратуре и позволяет выразить решение через эллиптические интегралы. Однако многое можно узнать и прямо из анализа соотношения (1.3.6) при различных значениях энергии $E$, как это показано на рис. 1.4. Значение гамильтониана $E$ соответствует полной энергии системы. Если $E$ больше максимального значения потенциальной энергии $F$, то импульс $p$ всегда отличен от нуля. Это приводит к неограниченному изменению $\varphi$, т. е. к вращению. При этом для $p>0$ движение происходит слева направо с энергией $E_{u}$. Для $E<F$ движение ограничено (внутри потенциальной ямы) и соответствует колебаниям маятника. Если же $E=F \equiv E_{s}$, то движение происходит по сепаратрисе, а период колебаний становится бесконечным. Движение имеет две особые точки при $p=0$ : одна находится в начале координат при $\varphi=0$ и является устойчивой, или эллиптической, особой точкой, другая (в месте соединения двух ветвей сепаратрисы при $\varphi= \pm \pi$ ) является неустойчивой, или гиперболической, особой точкой. Фазовая траектория вблизи эллиптической точки все время остается в ее окрестности, тогда как траектория вблизи гиперболической точки удаляется от нее.
Рис. 1.4. Динамика маятника.
a – график потенциальной энергии; 6 – фазовые траектөрии.
Из (1.3.4) следует, что в общем случае период колебаний зависит от энергии осциллятора. Подставляя значение $H$ из (1.3.6) в (1.3.4), для периода колебаний получаем соотношение
\[
T=\frac{1}{(2 G)^{1 / 2}} \oint \frac{d \varphi}{(E+F \cos \varphi)^{1 / 2}},
\]

которое можно выразить через эллиптические интегралы. В частности, из (1.3.5) видно, что на сепаратрисе как возвращающая сила, так и скорость обращаются в нуль при $\varphi=\pi$, и поэтому период $T$ становится бесконечным.

Чтобы записать гамильтониан маятника в переменных действие-угол $(J, \theta)$, вычислим действие аналогично (1.2.63). В результате получим
\[
\begin{array}{c}
J(E)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\varphi_{\text {макс }}}\left[\frac{2}{G}\left(E+F \cos \varphi_{1}\right)\right]^{1.2} d \varphi_{1}, \\
\theta(\varphi, E)=\left(G \frac{d J}{d E}\right)^{-1} \int_{0}^{\varphi} \frac{d \varphi_{1}}{\left[(2 / G)\left(E+F \cos \varphi_{1}\right)\right]^{1 / 2}},
\end{array}
\]

где $\varphi_{\text {макс }}=\pi / 2$ для вращения $(E>F)$ и $\cos \varphi_{\text {макс }}=-H / F$ для колебаний $(E<F)$. Новый гамильтониан получается путем подстановки $\bar{H}=E$ в (1.3.8) и обращения функции $J(\bar{H})$. Выражения (1.3.8) и (1.3.9) приводятся к эллиптическим интегралам и их можно представить в виде [383, 344$]$ :
\[
\begin{array}{c}
J=R \frac{8}{\pi}\left\{\begin{array}{ll}
\mathscr{E}(x)-\left(1-x^{2}\right) \mathscr{K}(x), & x<1, \\
\frac{1}{2} x \mathscr{E}\left(x^{-1}\right), & x>1,
\end{array}\right. \\
\theta=\frac{\pi}{2}\left\{\begin{array}{ll}
{[\mathscr{K}(x)]^{-1} \mathscr{F}(\eta, x),} & x<1, \\
2\left[\mathscr{K}\left(x^{-1}\right)\right]^{-1} \mathscr{F}\left(\frac{1}{2} \varphi, x^{-1}\right), & x>1 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Здесь $R=(F / G)^{1,2}$, а $K(x)$ и $\mathscr{E}(x)$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода:
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{K}(x)=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{d \xi}{\left(1-x^{2} \sin ^{2} \xi\right)^{1 / 2}}, \\
\mathscr{E}(x)=\int_{0}^{\pi / 2}\left(1-x^{2} \sin ^{2} \xi\right)^{1 / 2} d \xi,
\end{array}
\]

где $x \sin \eta=\sin \frac{1}{2} \varphi, 2 x^{2}=1+E / F$, а $\mathscr{F}$ – эллиптический интеграл первого рода. Величина $x$ характеризует относительную энергию маятника, так что на сепаратрисе $x=1$; для колебаний $x<1$, а для вращения $x>1$.
Соотношения $d J / d E=1 / \omega$ и (1.3.10) определяют частоту
\[
\frac{\omega(x)}{\omega_{0}}=\frac{\pi}{2}\left\{\begin{array}{ll}
{[\mathscr{K}(x)]^{-1},} & x<1, \\
2 x / \mathscr{K}\left(x^{-1}\right), & x>1,
\end{array}\right.
\]

где
\[
\omega_{0}=(F G)^{1 / 2}
\]
– частота малых колебаний вблизи эллиптической точки. Асимптотическое выражение для $\mathscr{K}$ при $x \rightarrow 1$ дает частоту вблизи сепаратрисы
\[
\frac{\omega}{\omega_{0}} \approx\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\pi}{2} / \ln \left[\frac{4}{\left(1-x^{2}\right)^{12}}\right], & x<1, \\
\pi / \ln \left[\frac{4}{\left(x^{2}-1\right)^{12}}\right], & x>1 .
\end{array}\right.
\]

При $x \rightarrow 1$ частота логарифмически обращается в нуль. Уравнение сепаратрисы можно получить из (1.3.6) и условия $E=F$ :
\[
p_{s}=\frac{2^{1 / 2} \omega_{0}}{G}\left(1+\cos \varphi_{s}\right)^{1.2},
\]

где индекс $s$ отвечает значениям переменных на сепаратрисе. Отсюда
\[
p_{s}= \pm \frac{2 \omega_{0}}{G} \cos \frac{\varphi_{s}}{2},
\]

где плюс и минус соответствуют верхней и нижней ветвям сепаратрисы. Уравнение Гамильтона
\[
\dot{\varphi}_{s}=G p_{s}
\]

с учетом (1.3.17) дает
\[
\frac{d \varphi_{s}}{d t}= \pm 2 \omega_{0} \cos \frac{\varphi_{s}}{2} .
\]

Разрешая это уравнение относительно $d t$ и интегрируя с начальным условием $\varphi=0$ при $t=0$, получаем
\[
\omega_{0} t=\int_{0}^{\varphi_{s}} \frac{d \varphi / 2}{\cos (\varphi / 2)}=\ln \operatorname{tg}\left(\frac{\varphi_{s}}{4}+\frac{\pi}{4}\right),
\]

или, после обращения,
\[
\varphi_{s}=4 \operatorname{arctg}\left[\exp \left(\omega_{0} t\right)\right]-\pi .
\]

Траектории вблизи сепаратрисы очень похожи на саму сепаратрису, за исключением того, что период движения стремится к бесконечности при приближении к сепаратрисе (1.3.13).

Гамильтониан (1.3.6) был получен для модели маятника. Однако оказывается, что такого вида гамильтониан получается почти во всех близких к интегрируемым системах, в которых имеет место резонанс между степенями свободы. В окрестности значений переменных действия, соответствующих точному резонансу, разложение неинтегрируемой части гамильтониана в ряд Фурье дает члены, которые вызывают медленные изменения, описываемые гамильтонианом вида (1.3.6). Предположим, что угловые переменные $\varphi$ и $\psi$, соответствующие разным степеням свободы, находятся в резонансе, так что отношение их частот $\omega_{\varphi} / \omega_{\psi}$ для каких-то значений переменных действия близко к рациональному числу $r / l$. Тогда можно произвести каноническое преобразование к новой медленной переменной
\[
\theta=l \varphi-r \psi
\]

и исключить одну из быстрых угловых переменных, например $\varphi$. Канонически сопряженный $\theta$ импульс связан с отклонением действия, например $J_{\varphi}$, от точного резонансного значения $J_{0}$. Если теперь произвести усреднение по быстрой угловой переменной $\psi$, то получится гамильтониан с одной степенью свободы, совпадающий по форме с гамильтонианом маятника (1.3.6). Поскольку такой гамильтониан всегда возникает при фурье-преобразовании возмущения с последующим применением резонансной теории возмущений и усреднения, он был назван Чириковым [70] «универсальное описание нелинейного резонанса». Мы будем называть его стандартным гамильтонианом. Он играет фундаментальную роль во всем нашем изложении материала. Соответствующая теория возмущений рассматривается в $\$ 2.4$ и широко используется в последующих главах.