Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных Колмогоровым [229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль при доказательстве теоремы КАМ. Их основной чертой является чрезвычайно быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор рассмотренных в этой главе методах гамильтониан $H=H_{0}+\varepsilon H_{1}$ подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при которых порядок возмущения по $\varepsilon$ изменялся на единицу на каждом шаге:
\[
\varepsilon H_{1} \rightarrow \varepsilon^{2} H_{2} \rightarrow \varepsilon^{3} H_{3} \rightarrow . . \rightarrow \varepsilon^{n} H_{n} .
\]
1) Это замечание относится, по-видимому, не столько к самой задаче, сколько к возможностям и пределам применимости метода ДЛТ.- Прим. ред.

Это ясно видно, например, из системы уравнений (2.5.31). Выбирая производящую функцию Ли $w_{1}$, мы исключаем $\left\{\varepsilon H_{1}\right\}$, но остается $\varepsilon^{2} H_{2}$; выбирая $w_{2}$, исключаем $\left\{\varepsilon^{2} H_{2}\right\}$, но остается $\varepsilon^{3} H_{3}$ и т. д. Колмогоров показал, что последовательность канонических замен переменных можно организовать та́ким образом, чтобы оставшееся на каждом шаге возмущение было порядка квадрата предыдущего:
\[
\varepsilon H_{1} \rightarrow \varepsilon^{2} H_{2} \rightarrow \varepsilon^{4} H_{3} \rightarrow \text {. . } \rightarrow \varepsilon^{\left(2^{n-1}\right)} H_{n} .
\]

Выполнив $n$ преобразований, можно получить таким путем решение задачи с точностью порядка $\varepsilon^{\left(2^{n-1}\right)}$. Такая процедура носит название сверхсходимости или иногда квадратичной сходимости ${ }^{1}$ ).

Продемонстрируем оба обсуждаемых подхода на имеющей самостоятельный практический интерес задаче отыскания корня уравнения
\[
f(x)=0 .
\]

Следуя Мозеру [310] и Берри [26], предположим, что нам известно некоторое значение $x_{0}$ (обычно это решение невозмущенной задачи), которое можно принять в качестве начального приближения для корня. Следующее приближение $x_{1}$ найдем из первых двух членов разложения Тейлора вокруг $x_{0}$ :
\[
f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)=0 .
\]

Для получения приближения $x_{n}$ на $n$-м шаге необходимо определить корень полинома $n$-й степени
\[
\sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m !} f^{(m)}\left(x_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)^{m}=0 .
\]

Выберем малый параметр $\varepsilon=x-x_{0}$ и представим функцию $f(x)$ рядом по степеням $\varepsilon$. Вычитая из этого ряда выражение (2.6.3), получаем, что ошибка $e_{n}=x-x_{n}$ после $n$-го приближения является величиной порядка $\varepsilon^{n_{+1}}$ :
\[
e_{n} \sim \frac{1}{(n+1) !} \frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)} \varepsilon^{n+1} .
\]

Такая линейная сходимость характерна для обычных методов теории возмущений.

Чтобы продемонстрировать квадратичную сходимость, воспользуемся методом касательных Ньютона. Первый шаг этого метода представлен уравнением (2.6.2). Ошибка $e_{1}$ первого шага
$\left.{ }^{1}\right)$ В отечественной литературе употребляется также термин «ускоренная сходимость» [463].- Прим. перев.

оценивается с помощью разложения $f(x)$ относительно точки $x_{0}$ до $\varepsilon^{2}$ :
\[
e_{1}-\alpha\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}=\alpha \varepsilon^{2},
\]

где
\[
\alpha\left(x_{0}\right)=-\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) / f^{\prime}\left(x_{0}\right) .
\]

Таким образом, ошибка $e_{1}$ имеет порядок $\varepsilon^{2}$. На следующем шаге повторим процедуру разложения $f(x)$ вокруг точки $x_{1}$ (а не $x_{0}$ ) и найдем
\[
x_{2}-x_{1}=-\frac{f\left(x_{1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)} .
\]

Ошибка этого шага с учетом (2.6.5) равна
\[
e_{2} \sim \alpha\left(x_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)^{2} \sim \alpha\left(x_{1}\right) \alpha^{2}\left(x_{0}\right) \varepsilon^{4}
\]

и является величиной порядка $\varepsilon^{4}$. Быстрая сходимость обеспечивается за счет того, что значение переменной, вокруг которого выполняется разложение, с каждой итерацией приближается к точному значению. По индукции для ошибки после $n$ итераций имеем
\[
\left(x-x_{n}\right) \sim \varepsilon^{\left(2^{n}\right)} \prod_{k=1}^{n} \alpha^{\left(2^{n-1}\right)}\left(x_{k-1}\right) .
\]

Вообще говоря, $f^{\prime \prime} / f^{\prime} \sim 1$, так что ошибка уменьшается квадратично на каждом шаге. Однако, если
\[
f^{\prime \prime} / f^{\prime} \sim \varepsilon^{-1},
\]
[это соответствует резонансу вблизи разыскиваемого значения корня, $f(x) \sim\left(x-x_{r}\right)^{-1} ; x_{r} \sim x_{0}$ ], то и тогда квадратичная сходимость оказывается сильнее ${ }^{1}$ ). Аналогично сверхсходящееся разложение в теории КАМ также подавляет действие малых резонансных знаменателей.

Сверхсходящиеся разложения не нашли пока широкого применения в практических расчетах. Қак мы увидим ниже, соответствующие вычисления оказываются при этом слишком громоздкими. Чириков [70] демонстрирует сверхсходимость на примере маятника, используя производящую функцию от смешанного набора переменных. Однако более естестеенно применить сверхсходимость в сочетании с преобразованиями Ли. Для автономных систем это впервые было сделано Хаулэндом [203]. Мы рассмотрим эту технику в п. 2.6a, следуя Қари [49], метод которого применим также и для неавтономных систем. В работе Мак-Намары [290] кратко обсуждается возможность использования сверхсходящихся преоб-
1) Фактически для сходимости требуется, чтобы $f^{\prime \prime} / f^{\prime} \sim \varepsilon^{-\tau} ; \tau<1(\varepsilon \rightarrow 0)$; похожее условие возникает и при доказательстве теоремы КАМ (см. п. 3.2а).

разований Ли для вычисления ингегралов движения вблизи резонансов.

Получение приближенных решений для систем, близких к интегрируемым, тесно связано с отысканием периодических решений в таких системах. Последние важны, поскольку они образуют плотное множество и позволяют анализировать близкие решения с помощью линейной теории (см. §3.3). Хеллеман, Эминицер и др. [116] разработали в последнее время весьма эффективные сверхсходящиеся методы нахождения периодических решений. Эти методы описываются в п. 2.6 и иллюстрируются на примере задачи Хенона-Хейлеса.