Если рассмотренный в п. 2.1а осциллятор подвергается периодическому во времени внешнему возмущению или если медленные изменения параметров осциллятора, описанные в п. 2.1б, являются периодическими, то резонансы между колебаниями осциллятора и внешним возмущением разрушают сходимость разложений и изменяют или разрушают интегралы движения. Проиллюстрируем возникающие при этом трудности на простом примере.
Рассмотрим вынужденные колебания линейного ссциллятора
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=g(t),
\]

где внешняя сила $g(t)$ является периодической функцией времени с периодом $2 \pi / \Omega$. Решение однородного уравнения (2.1.25) есть
\[
x_{h}=A \cos \omega_{0} t+B \sin \omega_{0} t .
\]

Представим внешнюю силу $g(t)$ в виде ряда Фурье
\[
g(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n \Omega t+b_{n} \sin n \Omega t\right)
\]

и подставим это выражение в уравнение (2.1.25). Разлагая частное решение $x_{p}(t)$ в ряд Фурье, для $n$-го члена получаем
\[
x_{p n}=\frac{a_{n} \cos n \Omega t+b_{n} \sin n \Omega t}{\omega_{0}^{2}-n^{2} \Omega^{2}} .
\]

Видно, что при $\omega_{0}^{2} \approx n^{2} \Omega^{2}$ имеет место резонанс, приводящий к раскачке колебаний. Наш пример иллюстрируется на рис. 2.1 , в, на котором показан ребенок, раскачивающий качели.

Если осциллятор нелинейный, как, например, рассмотренный в п. $2.1 \mathrm{a}$, то в однородном решении присутствуют все гармоники с частотами, кратными основной частоте $\omega_{0}$. В этом случае резонансы возникают всякий раз, когда отношение частот $\omega_{0} / \Omega$ является рациональным числом, т. е. имеет место всюду плотная система резонансов. Но, как мы уже знаем, частота колебаний является функцией их амплитуды. Резонансы же изменяют амплитуду, а значит, и частоту колебаний, нарушая тем самым точное выполнение резонансных условий. Таким образом, малые знаменатели, препятствующие сходимости классических рядов в окрестности резонансов, отражают определенное физическое явление, которое приводит к локальному изменению характера фазовых траекторий.