Если рассмотренный в п. 2.1а осциллятор подвергается периодическому во времени внешнему возмущению или если медленные изменения параметров осциллятора, описанные в п. 2.1б, являются периодическими, то резонансы между колебаниями осциллятора и внешним возмущением разрушают сходимость разложений и изменяют или разрушают интегралы движения. Проиллюстрируем возникающие при этом трудности на простом примере.
Рассмотрим вынужденные колебания линейного ссциллятора
$$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=g(t),$$

где внешняя сила $g(t)$ является периодической функцией времени с периодом $2\pi /\mathrm{\Omega }$. Решение однородного уравнения (2.1.25) есть
$$x_h=A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t.$$

Представим внешнюю силу $g(t)$ в виде ряда Фурье
$$g(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n\mathrm{\Omega }t+b_n\sin n\mathrm{\Omega }t)$$

и подставим это выражение в уравнение (2.1.25). Разлагая частное решение $x_p(t)$ в ряд Фурье, для $n$-го члена получаем
$$x_{pn}=\frac{a_n\cos n\mathrm{\Omega }t+b_n\sin n\mathrm{\Omega }t}{{\omega }_0^2-n^2{\mathrm{\Omega }}^2}.$$

Видно, что при ${\omega }_0^2\approx n^2{\mathrm{\Omega }}^2$ имеет место резонанс, приводящий к раскачке колебаний. Наш пример иллюстрируется на рис. 2.1 , в, на котором показан ребенок, раскачивающий качели.

Если осциллятор нелинейный, как, например, рассмотренный в п. $2.1\mathrm{a}$, то в однородном решении присутствуют все гармоники с частотами, кратными основной частоте ${\omega }_0$. В этом случае резонансы возникают всякий раз, когда отношение частот ${\omega }_0/\mathrm{\Omega }$ является рациональным числом, т. е. имеет место всюду плотная система резонансов. Но, как мы уже знаем, частота колебаний является функцией их амплитуды. Резонансы же изменяют амплитуду, а значит, и частоту колебаний, нарушая тем самым точное выполнение резонансных условий. Таким образом, малые знаменатели, препятствующие сходимости классических рядов в окрестности резонансов, отражают определенное физическое явление, которое приводит к локальному изменению характера фазовых траекторий.