Рассмотрим гамильтониан
\[
H=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $H_{0}$ описывает интегрируемую систему, а $H_{1}$ является периодической функцией $\theta$ :
\[
H_{1}=\sum_{l, m} H_{l, m}(\boldsymbol{J}) e^{i n \cdot \theta} .
\]

Здесь $\boldsymbol{n}=(l, m)-$ целочисленный вектор. Если между невозмущенными частотами имеется резонансное соотношение
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{r}{s},
\]

где $r, s$ – целые числа и
\[
\omega_{1}(J)=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}}, \quad \omega_{2}(J)=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}},
\]

то попытка найти решение с помощью теории возмущений, описанной в $\S 2.2$ и 2.3 , приводит к малым резонансным знаменателям. Будем считать, что условие (2.4.3) относится либо к первичному резонансу в системе, либо ко вторичному резонансу с фазовыми колебаниями на первичном резонансе. В обоих случаях резонансные знаменатели можно устранить с помощью преобразования, которое исключает одну из переменных действия $J_{1}$ или $J_{2}$. Выберем производящую функцию
\[
F_{2}=\left(r \theta_{1}-s \theta_{2}\right) \widetilde{J}_{1}+\theta_{2} \widetilde{J}_{2},
\]

которая задает каноническое преобразование от $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ к $\tilde{\boldsymbol{J}, \tilde{\boldsymbol{\theta}} \text { : }}$
\[
\begin{array}{l}
J_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{2}}=r \widetilde{J}_{1}, \\
J_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{2}}=\widetilde{J}_{2}-s \widetilde{J}_{1}, \\
\tilde{\theta}_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=r \theta_{1}-s \theta_{2}, \\
\widetilde{\theta}_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \widetilde{J}_{2}}=\theta_{2} .
\end{array}
\]

Скорость изменения новой резонансной переменной
\[
\dot{\theta}_{1}=r \dot{\theta_{1}}-s \dot{\theta}_{2}
\]

характеризует медленные отклонения от резонанса.
При использовании производящей функции вида (2.4.5) имеется произвол в том, какую из исходных фазовых переменных оставить
неизменной. Предположим, что $\dot{\theta_{2}^{*}}$ – наименьшая из двух частот, и примем $\widetilde{\theta}_{2}=\theta_{2}$, тогда усреднение гамильтониана по быстрой фазовой переменной после преобразования будет проводиться по более медленной из исходных фазовых переменных. Такой выбор особенно удобен, если предстоит устранять знаменатели резонансов высших порядков, так как в госледних остается при этом более низкая гармоника ${ }^{1}$ ).

Применяя преобразование (2.4.6) к гамильтониану (2.4.1) и используя (1.2.13в), находим
\[
\begin{array}{c}
\tilde{H}=\tilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon \tilde{H}_{\mathbf{1}}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}), \\
\tilde{H}_{\mathbf{1}}=\sum_{l, m} H_{l, m}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \exp \left\{\frac{i}{r}\left[\tilde{\theta}_{\mathbf{1}}+(l s+m r) \tilde{\theta}_{2}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Для получения преобразованного гамильтониана первого порядка можно, как и в $\S 2.3$, усреднить по переменной $\tilde{\theta}_{2}$ [ср. (2.3.17)], что дает
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}=\bar{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon \bar{H}_{\mathbf{1}}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\theta}_{\mathrm{I}}\right), \\
\bar{H}_{0}=\tilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}}), \\
\bar{H}_{1}=\left\langle\tilde{H}_{\mathbf{1}}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}})\right\rangle_{\widetilde{\theta}_{2}}=\sum_{p=-\infty}^{\infty} H_{-p r, p s}(\tilde{\boldsymbol{J}}) e^{-i p \tilde{\theta}_{\mathrm{I}}} .
\end{array}
\]

Это усреднение справедливо вблизи резонанса, где $\dot{\theta}_{2} \gg \dot{\tilde{\theta}}_{1}$. Так как $\bar{H}$ не зависит от $\tilde{\theta}_{2}$, то
\[
\tilde{J}_{2}=\tilde{I}_{20}=\text { const. }
\]

Это – первый член ряда, представляющего адиабатический инвариант для гамильтониана (2.4.8). Из (2.4.6б) видно, что $\widetilde{J}_{2}$ является комбинацией инвариантов невозмущенной системы:
\[
\tilde{J}_{2}=J_{2}+\frac{s}{t} J_{1}=\text { const. }
\]

Таким образом, введение резонансных переменных позволило в явном виде найти новый инвариант системы вблизи резонанса. Однако для резонанса высокого порядка, когда $s \gg r$, новый инвариант $\widetilde{J}_{2}$ просто пропорционален исходному инварианту $J_{1}$. Сле-
1) Это замечание непонятно и несущественно для дальнейшего. Конечный результат не должен зависеть от выбора переменной $\tilde{\theta}_{2}$, в качестве которой, кстати, можно взять и любую комбинацию $\theta_{1}, \theta_{2}$, линей ко независимую от $\tilde{\theta}_{\mathbf{1}}$– Прим. ред.

довательно, существенны только резонансы низких гармоник ${ }^{1}$ ).
Поскольку $\widetilde{J}_{2}=$ const, то движение, определяемое гамильтонианом (2.4.10) в переменных $\widetilde{J}_{1}, \widetilde{\theta}_{1}$, имеет фактически одну степень свободы и, следовательно, интегрируемо. Неподвижные точки $\tilde{J}_{10}, \tilde{\theta}_{10}$ на фазовой плоскости $\tilde{J}_{1}, \tilde{\theta}_{1}$, соответствующие периодическим решениям для возмущенного гамильтониана, находятся из условия
\[
\frac{\partial \bar{H}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=0, \quad \frac{\partial \bar{H}}{\partial \widetilde{\theta}_{1}}=0 .
\]

Для невозмущенного гамильтониана периодические решения при резонансном значении $\boldsymbol{J}(2.4 .3$ ) вырождены по $\boldsymbol{\theta}$, т. е. существуют для всех $\boldsymbol{\theta}$. Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения, удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре – Биркгофа в п. 3.2б).

Обычно амплитуды Фурье $H_{-p r, p s}$ быстро убывают с ростом $p$. Поэтому интегрируемое движение в переменных $\tilde{J}_{1}, \tilde{\theta}_{1}$ можно описать с хорошей точностью, удерживая лишь члены с $p=0, \pm 1$ :
\[
\bar{H}=\tilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+\varepsilon H_{0.0}(\tilde{\boldsymbol{J}})+2 \varepsilon H_{r_{0}-s}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \cos \tilde{\theta}_{\mathbf{1}},
\]

где принято $H_{-r, s}=H_{r,-s}$, что всегда можно обеспечить тривиальной заменой $\tilde{\theta}_{1} \rightarrow \tilde{\theta_{1}}+$ const.
Применяя (2.4.15) к гамильтониану (2.4.16), получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+\varepsilon \frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+2 \varepsilon \frac{\partial H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \cos \tilde{\theta}_{1}=0, \\
-2 \varepsilon H_{r_{0}-s} \sin \tilde{\theta}_{1}=0 .
\end{aligned}
\]

Из (2.4.18) следует существование двух неподвижных точек $\tilde{\theta}_{10}=0$ и $\tilde{\theta}_{10}=\pi$. При точном резонансе ${ }^{2}$ )
\[
\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=r \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}}-s \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}}=r \omega_{1}-s \omega_{2}=0
\]

и уравнение (2.4.17), определяющее $\widetilde{J}_{10}$, принимает вид
\[
\frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \pm 2 \frac{\partial H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}}=0,
\]

где положительный знак соответствует $\tilde{\theta}_{10}=0$, а отрицательный $\widetilde{\theta}_{10}=\pi$.
1) Это замечание справедливо, но по другой причине: обычно, хотя и не всегда, резонансы высших гармоник очень слабые и соответственно область резонанса с измененной топологией инвариантных поверхностей оказывается узкой по переменным действия [см. (2.4.31)].- Прим. ред.
2) Отметим, что условие точного резонанса по невозмущенным частотам (2.4.19) совместимо с (2.4.15), вообще говоря, лишь в нулевом порядке по $\varepsilon$ [см. (2.4.17)].- Прим. ред.

Рассмотрим два случая.
1. Резонанс в невозмущенной системе имеет место только при некоторых значениях $J_{1}$ и $J_{2}$. Такая система (и ее гамильтониан $H_{0}$ ) называется невырожденной ${ }^{1}$ ). Это наиболее типичный случай, при котором невозмущенный гамильтониан после преобразования зависит от обеих переменных действия
\[
\widetilde{H}_{0}=\widetilde{H}_{0}\left(\widetilde{J}_{1}, \widetilde{J}_{2}\right) .
\]
2. Условие резонанса (2.4.3) выполняется для любых $J_{1}, J_{2}$. Такая система называется вырожденной ${ }^{2}$ ). Очевидно, что в этом случае
\[
H_{0}=H_{0}\left(s J_{1}+r J_{2}\right),
\]

и после преобразования (2.4.6a), (2.4.6б)
\[
\tilde{H}_{0}=\widetilde{H}_{0}\left(\tilde{J}_{2}\right),
\]
т. е. $\widetilde{H}_{0}$ не зависит от $\widetilde{J}_{1}$. Вырождение по отношению к одному из первичных резонансов довольно часто встречается в физических системах ${ }^{3}$ ), представляющих интерес. Однако этого почти никогда не происходит по отношению ко вторичным резонансам в силу очень сложной зависимости их частот от переменных действия. Особенности вырожденных систем рассматривались Егером и Лихтенбергом [212] и Израйлевым [207 ] 4).
Невырожденный случай. Из гамильтониана (2.4.16) с учетом (2.4.21) получаем оценки
\[
\begin{array}{l}
\dot{\tilde{J}} \sim \varepsilon H_{r,-s}, \\
\dot{\hat{\theta}} \sim 1,
\end{array}
\]

откуда следует, что (2.4.16) можно разложить в окрестности неподвижной точки по переменной $\tilde{J}_{1}$ (но не по $\tilde{\theta}_{1}$ ). Обозначая
\[
\Delta \tilde{J}_{1}=\tilde{J}_{1}-\widetilde{J}_{10},
\]

имеем
\[
\widetilde{H}_{0}(\tilde{\boldsymbol{J}})=\widetilde{H}_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}} \Delta \widetilde{J}_{1}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots
\]
1) В оригинале – accidentally degenerate (случайно вырожденная). Этот термин используется в отечественной литературе в совершенно ином смысле, соответствующем случаю 2, рассмотренному ниже.- Прим. перев.
2) В оригинале – intrinsically degenerate (внутренне вырожденная).Прим. перев.
3) Например, в случае линейных невозмущенных колебаний. Классическим примером вырождения для нелинейной системы является задача Кеплера (см. п. 1.3в).- Прим. ред.
4) Любопытные эффекты вырождения рассмотрены также в работах [134, 470]– Прим. ред.

Вторым членом в правой части (2.4.26) можно пренебречь в силу (2.4.19). Подставляя (2.4.26) в (2.4.16), опуская постоянную и удерживая лишь члены низшего порядка по $\varepsilon$ и $\Delta \widetilde{J}_{1}$, находим гамильтониан, описывающий движение вблизи резонанса
\[
\Delta \bar{H}=\frac{1}{2} G\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)^{2}-F \cos \tilde{\theta_{1}},
\]

здесь $G$ – параметр нелинейности
\[
G\left(\widetilde{J}_{0}\right)=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}},
\]
a
\[
F\left(\widetilde{J}_{0}\right)=-2 \varepsilon H_{r,-s}\left(\widetilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right) .
\]

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса ${ }^{1}$ ) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым $[70]$ и другими авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса; оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть $\Delta \bar{H}$ стандартным гамильтонианом.

Перестройка движения под действием возмущения вблизи резонанса иллюстрируется на рис. $2.8, a$. При $G F>0$ устойчивая и неустойчивая неподвижные точки расположены при $\widetilde{\theta}_{1}=0$ и $\tilde{\theta}_{1}=\pi$ соответственно. Частота колебаний вблизи устойчивой неподвижной точки (центр резонанса) мала:
\[
\tilde{\omega}_{1}=(F G)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]

Эта частота уменьшается вплоть до нуля при приближении к сепаратрисе, оставаясь все время много меньше частоты $\dot{\theta}_{2}$, которая по порядку величины равна единице. Максимальное отклонение $\Delta \tilde{J}_{1 \text { макс }}$ мало, происходит на сепаратрисе (при $\tilde{\theta}_{1}=0$ ) и равно половине ее ширины
\[
\tilde{\Delta J}_{1 \text { макс }}=2\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]
1) Правильнее было бы сказать- типичного резонанса, поскольку «приближение маятника» (2.4.27) справедливо все же лишь при определенных условиях – так называемой умеренной нелинейности, во-первых [см. (3.2.36) ], и малости кратных гармоник, во-вторых (противоположный пример см, в работе [471], § 4.2).- Прим. ред.

Рис. 2.8. Фазовые траектории вблизи резонанса.
$a$ – невырожденный случай; полуширина резонанса $\widetilde{\Delta J}_{1 \text { макс }}$ и частота фазовых колебаний $\widetilde{\omega}_{1}$ малы ( $\left.\varepsilon^{1 / 2}\right) ; 6$ – вырожденный случай; ширина резонанса порядка единицы, а частота порядка $\varepsilon$.

Вблизи центра резонанса фазовые траектории являются эллипсами с отношением полуосей
\[
\frac{\Delta \tilde{J}_{1}}{\Delta \tilde{\theta}_{1}}=\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim\left(\varepsilon H_{r,-s}\right)^{1 / 2} .
\]

Для полного решения задачи следовало бы выполнить преобразование к переменным действие – угол медленных колебаний (или вращения). Однако такое преобразование необходимо по существу лишь при учете вторичных резонансов и мы отложим его до п. 2.46.

Вырождение. Действуя, как и в предыдущем случае, но учитывая независимость гамильтониана $\tilde{H}_{0}$ от $\widetilde{J}_{1}$ [см. (2.4.23) ], вместо (2.4.24) получаем оценки
\[
\dot{\tilde{J}}_{1} \sim \varepsilon H_{r,-s}, \quad \dot{\tilde{\theta}}_{1} \sim \varepsilon H_{0,0} \sim \varepsilon H_{r,-s},
\]

из которых следует, что отклонение по $\tilde{J}_{1}$ и $\tilde{\theta}_{1}$ одного порядка, поэтому нельзя разлагать гамильтониан (2.4.16) только по $\tilde{J}_{\mathbf{1}}$, как это было сделано выше. В общем случае для анализа движения системы (2.4.16) можно перейти к новым переменным действиеугол (см. п. 1.3а). Выясним сначала общий характер движения, разлагая гамильтониан (2.4.16) в окрестности центра резонанса $\widetilde{\theta}_{1}=0$ по степеням $\Delta \widetilde{J}_{1}$ и $\Delta \widetilde{\theta}_{1}=\widetilde{\theta}_{1}$ до квадратичных членов. Имеем
\[
\begin{array}{c}
H_{0,0}(\tilde{\boldsymbol{J}})=H_{0,0}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0,0}}{\partial \tilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots \\
H_{r,-s}(\tilde{\boldsymbol{J}})=H_{r,-s}\left(\tilde{\boldsymbol{J}}_{0}\right)+\frac{\partial H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{r,-s}}{\partial \tilde{J}_{1}^{2}}\left(\Delta \tilde{J}_{1}\right)^{2}+\ldots, \\
\cos \tilde{\theta}_{1}=1-\frac{1}{2}\left(\Delta \tilde{\theta}_{1}\right)^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Линейные по $\Delta \tilde{J}_{1}$ члены выпадают в силу (2.4.20); опуская постоянные, мы приходим к гамильтониану гармонического осциллятора
\[
\Delta \bar{H}=\frac{1}{2} G\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}+\frac{1}{2} F\left(\Delta \widetilde{\theta}_{1}\right)^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
G=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\tilde{J}_{1}^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{2} H_{0,0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}+\varepsilon \frac{\partial^{2} H_{r,-s}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}, \\
F=-2 \varepsilon H_{r,-s} .
\end{array}
\]

Но при вырождении первый член в (2.4.38) равен нулю, поэтому как $G$, так и $F$ оказываются величинами порядка $\varepsilon$. Частота малых колебаний вблизи центра резонанса равна
\[
\tilde{\omega}_{1}=(G F)^{1 / 2} \sim \varepsilon,
\]

а отношение полуосей эллипса –
\[
\frac{\Delta \tilde{J}_{1}}{\Delta \widetilde{\theta}_{1}}=\left(\frac{F}{G}\right)^{1 / 2} \sim 1 .
\]

Вблизи центра резонанса вырождение определяется соотношением (2.4.38) и происходит при уменьшении первого слагаемого до нуля.

Аналогичным образом вблизи неустойчивой неподвижной точки $\tilde{\theta}_{1}= \pm \pi$ получаются гиперболические фазовые траектории с асимптотами, наклоненными к оси $\tilde{\theta}_{1}$ под углами $\pm \chi$, где
\[
\operatorname{tg} \chi=\left(\frac{F}{G}\right)^{12} .
\]

Поведение вырожденной системы иллюстрируется на рис. 2.8, б. Грубо говоря, оно похоже на невырожденное, если только $G
eq 0$. Различия между ними, существенные для отображений и теории ҚАМ, обсуждаются в п. 3.2а; там же кратко рассмотрен особый случай $G=0$. Вообще говоря, характерная для вырождения слабая нелинейность приводит к сложному поведению системы, тогда как невырожденный случай оказывается обычно более простым для анализа.