Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим гамильтониан
H=H0(J)+εH1(J,θ),

где H0 описывает интегрируемую систему, а H1 является периодической функцией θ :
H1=l,mHl,m(J)einθ.

Здесь n=(l,m) целочисленный вектор. Если между невозмущенными частотами имеется резонансное соотношение
ω2ω1=rs,

где r,s — целые числа и
ω1(J)=H0J1,ω2(J)=H0J2,

то попытка найти решение с помощью теории возмущений, описанной в §2.2 и 2.3 , приводит к малым резонансным знаменателям. Будем считать, что условие (2.4.3) относится либо к первичному резонансу в системе, либо ко вторичному резонансу с фазовыми колебаниями на первичном резонансе. В обоих случаях резонансные знаменатели можно устранить с помощью преобразования, которое исключает одну из переменных действия J1 или J2. Выберем производящую функцию
F2=(rθ1sθ2)J~1+θ2J~2,

которая задает каноническое преобразование от J,θ к J,θ~ : ~
J1=F2θ2=rJ~1,J2=F2θ2=J~2sJ~1,θ~1=F2J~1=rθ1sθ2,θ~2=F2J~2=θ2.

Скорость изменения новой резонансной переменной
θ˙1=rθ1˙sθ˙2

характеризует медленные отклонения от резонанса.
При использовании производящей функции вида (2.4.5) имеется произвол в том, какую из исходных фазовых переменных оставить
неизменной. Предположим, что θ2˙ — наименьшая из двух частот, и примем θ~2=θ2, тогда усреднение гамильтониана по быстрой фазовой переменной после преобразования будет проводиться по более медленной из исходных фазовых переменных. Такой выбор особенно удобен, если предстоит устранять знаменатели резонансов высших порядков, так как в госледних остается при этом более низкая гармоника 1 ).

Применяя преобразование (2.4.6) к гамильтониану (2.4.1) и используя (1.2.13в), находим
H~=H~0(J~)+εH~1(J~,θ~),H~1=l,mHl,m(J~)exp{ir[θ~1+(ls+mr)θ~2]}.

Для получения преобразованного гамильтониана первого порядка можно, как и в §2.3, усреднить по переменной θ~2 [ср. (2.3.17)], что дает
H¯=H¯0(J~)+εH¯1(J~,θ~I),H¯0=H~0(J~),H¯1=H~1(J~,θ~)θ~2=p=Hpr,ps(J~)eipθ~I.

Это усреднение справедливо вблизи резонанса, где θ˙2θ~˙1. Так как H¯ не зависит от θ~2, то
J~2=I~20= const. 

Это — первый член ряда, представляющего адиабатический инвариант для гамильтониана (2.4.8). Из (2.4.6б) видно, что J~2 является комбинацией инвариантов невозмущенной системы:
J~2=J2+stJ1= const. 

Таким образом, введение резонансных переменных позволило в явном виде найти новый инвариант системы вблизи резонанса. Однако для резонанса высокого порядка, когда sr, новый инвариант J~2 просто пропорционален исходному инварианту J1. Сле-
1) Это замечание непонятно и несущественно для дальнейшего. Конечный результат не должен зависеть от выбора переменной θ~2, в качестве которой, кстати, можно взять и любую комбинацию θ1,θ2, линей ко независимую от θ~1— Прим. ред.

довательно, существенны только резонансы низких гармоник 1 ).
Поскольку J~2= const, то движение, определяемое гамильтонианом (2.4.10) в переменных J~1,θ~1, имеет фактически одну степень свободы и, следовательно, интегрируемо. Неподвижные точки J~10,θ~10 на фазовой плоскости J~1,θ~1, соответствующие периодическим решениям для возмущенного гамильтониана, находятся из условия
H¯J~1=0,H¯θ~1=0.

Для невозмущенного гамильтониана периодические решения при резонансном значении J(2.4.3 ) вырождены по θ, т. е. существуют для всех θ. Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения, удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре — Биркгофа в п. 3.2б).

Обычно амплитуды Фурье Hpr,ps быстро убывают с ростом p. Поэтому интегрируемое движение в переменных J~1,θ~1 можно описать с хорошей точностью, удерживая лишь члены с p=0,±1 :
H¯=H~0(J~)+εH0.0(J~)+2εHr0s(J~)cosθ~1,

где принято Hr,s=Hr,s, что всегда можно обеспечить тривиальной заменой θ~1θ1~+ const.
Применяя (2.4.15) к гамильтониану (2.4.16), получаем
H~0J~1+εH0,0J~1+2εHr,sJ~1cosθ~1=0,2εHr0ssinθ~1=0.

Из (2.4.18) следует существование двух неподвижных точек θ~10=0 и θ~10=π. При точном резонансе 2 )
H~0J~1=rH0J1sH0J2=rω1sω2=0

и уравнение (2.4.17), определяющее J~10, принимает вид
H0,0J~1±2Hr,sJ~1=0,

где положительный знак соответствует θ~10=0, а отрицательный θ~10=π.
1) Это замечание справедливо, но по другой причине: обычно, хотя и не всегда, резонансы высших гармоник очень слабые и соответственно область резонанса с измененной топологией инвариантных поверхностей оказывается узкой по переменным действия [см. (2.4.31)].- Прим. ред.
2) Отметим, что условие точного резонанса по невозмущенным частотам (2.4.19) совместимо с (2.4.15), вообще говоря, лишь в нулевом порядке по ε [см. (2.4.17)].- Прим. ред.

Рассмотрим два случая.
1. Резонанс в невозмущенной системе имеет место только при некоторых значениях J1 и J2. Такая система (и ее гамильтониан H0 ) называется невырожденной 1 ). Это наиболее типичный случай, при котором невозмущенный гамильтониан после преобразования зависит от обеих переменных действия
H~0=H~0(J~1,J~2).
2. Условие резонанса (2.4.3) выполняется для любых J1,J2. Такая система называется вырожденной 2 ). Очевидно, что в этом случае
H0=H0(sJ1+rJ2),

и после преобразования (2.4.6a), (2.4.6б)
H~0=H~0(J~2),
т. е. H~0 не зависит от J~1. Вырождение по отношению к одному из первичных резонансов довольно часто встречается в физических системах 3 ), представляющих интерес. Однако этого почти никогда не происходит по отношению ко вторичным резонансам в силу очень сложной зависимости их частот от переменных действия. Особенности вырожденных систем рассматривались Егером и Лихтенбергом [212] и Израйлевым [207 ] 4).
Невырожденный случай. Из гамильтониана (2.4.16) с учетом (2.4.21) получаем оценки
J~˙εHr,s,θ^˙1,

откуда следует, что (2.4.16) можно разложить в окрестности неподвижной точки по переменной J~1 (но не по θ~1 ). Обозначая
ΔJ~1=J~1J~10,

имеем
H~0(J~)=H~0(J~0)+H~0J~1ΔJ~1+122H~0J~12(ΔJ~1)2+
1) В оригинале — accidentally degenerate (случайно вырожденная). Этот термин используется в отечественной литературе в совершенно ином смысле, соответствующем случаю 2, рассмотренному ниже.- Прим. перев.
2) В оригинале — intrinsically degenerate (внутренне вырожденная).Прим. перев.
3) Например, в случае линейных невозмущенных колебаний. Классическим примером вырождения для нелинейной системы является задача Кеплера (см. п. 1.3в).- Прим. ред.
4) Любопытные эффекты вырождения рассмотрены также в работах [134, 470]— Прим. ред.

Вторым членом в правой части (2.4.26) можно пренебречь в силу (2.4.19). Подставляя (2.4.26) в (2.4.16), опуская постоянную и удерживая лишь члены низшего порядка по ε и ΔJ~1, находим гамильтониан, описывающий движение вблизи резонанса
ΔH¯=12G(ΔJ~1)2Fcosθ1~,

здесь G — параметр нелинейности
G(J~0)=2H~0J~12,
a
F(J~0)=2εHr,s(J~0).

Этот примечательный результат показывает, что движение вблизи любого резонанса 1 ) подобно движению маятника с его колебаниями вращением и сепаратрисой. Приближение (2.4.27) использовалось Чириковым [70] и другими авторами для описания типичного поведения гамильтоновых систем вблизи резонанса; оно же является основой нашего подхода при изучении хаотического движения в окрестности сепаратрисы резонанса. Гамильтониан (2.4.27) дает в некотором смысле универсальное описание движения вблизи резонанса, поэтому мы будем иногда называть ΔH¯ стандартным гамильтонианом.

Перестройка движения под действием возмущения вблизи резонанса иллюстрируется на рис. 2.8,a. При GF>0 устойчивая и неустойчивая неподвижные точки расположены при θ~1=0 и θ~1=π соответственно. Частота колебаний вблизи устойчивой неподвижной точки (центр резонанса) мала:
ω~1=(FG)1/2(εHr,s)1/2.

Эта частота уменьшается вплоть до нуля при приближении к сепаратрисе, оставаясь все время много меньше частоты θ˙2, которая по порядку величины равна единице. Максимальное отклонение ΔJ~1 макс  мало, происходит на сепаратрисе (при θ~1=0 ) и равно половине ее ширины
ΔJ~1 макс =2(FG)1/2(εHr,s)1/2.
1) Правильнее было бы сказать- типичного резонанса, поскольку «приближение маятника» (2.4.27) справедливо все же лишь при определенных условиях — так называемой умеренной нелинейности, во-первых [см. (3.2.36) ], и малости кратных гармоник, во-вторых (противоположный пример см, в работе [471], § 4.2).- Прим. ред.

Рис. 2.8. Фазовые траектории вблизи резонанса.
a — невырожденный случай; полуширина резонанса ΔJ~1 макс  и частота фазовых колебаний ω~1 малы ( ε1/2);6 — вырожденный случай; ширина резонанса порядка единицы, а частота порядка ε.

Вблизи центра резонанса фазовые траектории являются эллипсами с отношением полуосей
ΔJ~1Δθ~1=(FG)1/2(εHr,s)1/2.

Для полного решения задачи следовало бы выполнить преобразование к переменным действие — угол медленных колебаний (или вращения). Однако такое преобразование необходимо по существу лишь при учете вторичных резонансов и мы отложим его до п. 2.46.

Вырождение. Действуя, как и в предыдущем случае, но учитывая независимость гамильтониана H~0 от J~1 [см. (2.4.23) ], вместо (2.4.24) получаем оценки
J~˙1εHr,s,θ~˙1εH0,0εHr,s,

из которых следует, что отклонение по J~1 и θ~1 одного порядка, поэтому нельзя разлагать гамильтониан (2.4.16) только по J~1, как это было сделано выше. В общем случае для анализа движения системы (2.4.16) можно перейти к новым переменным действиеугол (см. п. 1.3а). Выясним сначала общий характер движения, разлагая гамильтониан (2.4.16) в окрестности центра резонанса θ~1=0 по степеням ΔJ~1 и Δθ~1=θ~1 до квадратичных членов. Имеем
H0,0(J~)=H0,0(J~0)+H0,0J~1(ΔJ~1)+122H0,0J~12(ΔJ~1)2+Hr,s(J~)=Hr,s(J~0)+Hr,sJ~1(ΔJ~1)+122Hr,sJ~12(ΔJ~1)2+,cosθ~1=112(Δθ~1)2+

Линейные по ΔJ~1 члены выпадают в силу (2.4.20); опуская постоянные, мы приходим к гамильтониану гармонического осциллятора
ΔH¯=12G(ΔJ~1)2+12F(Δθ~1)2,

где
G=2H~0J~12+ε2H0,0J~12+ε2Hr,sJ~12,F=2εHr,s.

Но при вырождении первый член в (2.4.38) равен нулю, поэтому как G, так и F оказываются величинами порядка ε. Частота малых колебаний вблизи центра резонанса равна
ω~1=(GF)1/2ε,

а отношение полуосей эллипса —
ΔJ~1Δθ~1=(FG)1/21.

Вблизи центра резонанса вырождение определяется соотношением (2.4.38) и происходит при уменьшении первого слагаемого до нуля.

Аналогичным образом вблизи неустойчивой неподвижной точки θ~1=±π получаются гиперболические фазовые траектории с асимптотами, наклоненными к оси θ~1 под углами ±χ, где
tgχ=(FG)12.

Поведение вырожденной системы иллюстрируется на рис. 2.8, б. Грубо говоря, оно похоже на невырожденное, если только Geq0. Различия между ними, существенные для отображений и теории ҚАМ, обсуждаются в п. 3.2а; там же кратко рассмотрен особый случай G=0. Вообще говоря, характерная для вырождения слабая нелинейность приводит к сложному поведению системы, тогда как невырожденный случай оказывается обычно более простым для анализа.

1
Оглавление
email@scask.ru