Теперь мы можем полностью описать структуру отображения, например поверхность сечения нелинейного осциллятора с двумя степенями свободы. Очень схематично топология такого отображения дана Арнольдом и Авезом [14 ]. Рассмотрим случай умеренного возмущения, когда многие невозмущенные инвариантные кривые ( $J=$ const, cм. рис. 3.1, б) сохрағяются и при наличии возмущения. Будем считать для определенности, что $d \omega_{1} / d J_{1}<0$, а $\alpha=$ $=\omega_{01} / \omega_{02}=1 / \pi$ (иррациональное число) при $J_{1}=0$. С ростом $J_{1}$ частота $\omega_{1}$ уменьшается, пока не достигнет значения, соответствующего первому существенному резонансу $\omega_{1}=\omega_{2} / 4$. При этом на поверхности сечения образуется цепочка из четырех островков. Другими словами, если начальные условия траектории совпадают
1) Связь гомоклинной структуры с неинтегрируемостью обсуждалась еще Пуанкаре [337] и была строго доказана в работе [478] (см. также [479, 480 ]). Следует, однако, иметь в виду, что это локальная неинтегрируемость, имеющая место лишь на множестве начальных условий, вообще говоря, малой меры, дополнительном к большинству начальных условий, для которых инвариантные торы сохраняются согласно теории КАM (см. ниже и [477]). — Прим. ред.

с периодической точкой отображения, то соответствующая траектория, помеченная точками $\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{x}_{1}, \ldots$ на рис. $3.1,6$, сделает четыре витка вокруг тора. Для близких соседних точек величина $d J_{1} / d t
eq 0$, и их траектории на поверхности сечения охватывают периодические точки. В § 2.4 было показано, как рассчитывать такие замкнутые кривые, другие примеры будут приведены в $§ 3.4$ и 3.5 и в последующих главах. Наши предыдущие качественные рассуждения привели к выводу о чередовании эллиптических и гиперболических точек на поверхности $J=$ const, что совпадает с результатами § 2.4 на основе теории возмущений. Наличие гомоклинных и гетероклинных точек в окрестности гиперболической точки обусловливает существование области хаотического движения, ограниченной инвариантными кривыми.

Увеличивая $J_{1}$, мы придем к следующему существенному резонансу $\omega_{1}=\omega_{2} / 5$ с цепочкой из пяти островков. При дальнейшем увеличении $J_{1}$ будут последовательно встречаться резонансы с числом островков, равным шести, семи и т. д. При этом между каждыми двумя из этих главных резонансов существует еще и бесконечно много промежуточных резонансов, соответствующих всем промежуточным рациональным отношениям частот. Однако величина последних резонансов, как было показано в § 2.4, быстро убывает. Так, например, одним из промежуточных резонансов между двумя главными резонансами с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ является резонанс с $\alpha=2 / 9$, т. е. с $r=2$ и $s=9$. Eго размер относится к размеру резонанса с $\alpha=1 / 5$ как квадратный корень из отношения соответствующих амплитуд фурье-разложения возмущения. В самом деле, используя выражение (2.4.31), получаем
\[
\Delta \tilde{J}_{1} \sim\left|\frac{\varepsilon H_{r,-s}}{\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \tilde{J}_{1}^{2}}\right|^{1 / 2},
\]

где $H_{r,-s}$ – амплитуда фурье-разложения соответствующей резонансной гармоники. Максимальная величина фурье-амплитуды равна (см. п. 2.4б):
\[
H_{r,-s}^{\text {макс }} \approx \mathscr{F}_{s}(\pi),
\]

где $\mathscr{F}_{s}$ – функция Бесселя. В результате находим грубую оценку отношения размера резонансов:
\[
\frac{\Delta J(s / r=9 / 2)}{\Delta J(s / r=5)} \approx\left[\frac{\mathscr{F}_{9}(\pi)}{\mathscr{F}_{5}(\pi)}\right]^{1 / 2} \approx 0,1 .
\]

Таким образом, относительный размер резонансов более высоких гармоник весьма мал.

В итоге мы приходим к качественной картине структуры отображения, представленной на рис. $3.5, a$. Инвариантные кривые изображены здесь сплошными линиями. Те из них, которые окру-

Рис. 3.5. Регулярные и стохастические траектории при относительне большом возмущении.
$a$ – вблизи первичного резонанса; 6 – вблизи вторичного резонанса (увеличено и растянуто по вертикали).

жают начало координат ( $J_{1}=0$ ), при наличии возмущения уже не являются окружностями и соответствуют новым интегралам движения $\bar{J}_{1}=$ const, а $J_{1}$ является периодической функцией фазы. Приближенные значения этих инвариантов можно получить методом усреднения ( $\S 2.3$ ). Инвариантные кривые, окружающие эллиптические точки, нельзя найти таким способом, но они получаются с помощью резонансной теории возмущений (§2.4). Для траекторий же вблизи сепаратрис интеграл движения не существует, и они заполняют на поверхности сечения некоторую конечную область. Несколько таких областей показаны на рис. 3.5, a штриховкой. Они ограничены инвариантными кривыми. Между резонансом с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ расположен более мелкий, но все еще различимый резонанс с $\alpha=2 / 9$. Есть, конечно, и все другие промежуточные резонансы. Однако они не показаны на рисунке либо потому, что имеют слишком малые размеры и неразличимы в принятом масштабе, либо потому, что они целиком погружены в хаотические области других резонансов.

Что же мы увидим, если увеличить масштаб в окрестности какого-либо островка одного из резонансов? Для этого перейдем сначала к новым переменным $\widetilde{J}_{1}, \widetilde{\theta}_{1}(\S 2.4$ ) и введем новую переменную действия
\[
I_{1}=\frac{1}{2 \pi} \oint \widetilde{J}_{1} d \tilde{\theta}_{1},
\]

соответствующую замкнутой траектории вокруг эллиптической точки с заданным $\alpha$. При этом траектории исходного резонанса преобразуются в систему концентрических окружностей. Однако резонансы между этими колебаниями и основными частотами системы приводят к возникновению вторичных резонансов, которые деформируют окружности. Мы уже рассматривали вторичные резонансы в п. 2.46 и нашли, что их размер и частота фазовых колебаний экспоненциально малы ${ }^{1}$ ) с показателем, пропорциональным $(1 / \alpha)^{1 / 2}$. Для ширины вторичных резонансов можно получить оценку, аналогичную (3.2.37). Мы отложим это до гл. 4, а сейчас ограничимся качественной иллюстрацией результата с помощью рис. 3.5 , б. Отметим, что отношение размера вторичных резонансов к расстоянию между ними значительно меньше, чем для первичных резонансов. Эта качественная картина резонансов разных масштабов подтверждает вывод теории КАМ (п. 3.2a): при достаточно малом возмущении бо́льшая часть фазового пространства заполнена инвариантными торами.

Следующие соображения помогут лучше представить себе эту иерархию резонансов. Возьмем произвольную точку поверхности сечения и будем растягивать область вокруг этой точки, пока не
1) Точнее, см. оценку (2.4.62).- Прим. ред.

увидим какую-то резонансную структуру. Для достаточно малого возмущения выбранная точка будет с большой вероятностью лежать на инвариантной кривой, хотя вокруг нее и расположены стохастические области различных резонансов. Повторим теперь эту процедуру, т. е. снова выберем произвольную точку в пределах растянутой области и продолжим растяжение области, пока не увидим структуру следующего масштаба. В этом новом масштабе значительно меньшая часть площади будет стохастической, и вероятность выбранной точки попасть на инвариантную кривую существенно возрастает. На каждом следующем масштабе доля стохастической области будет экспоненциально уменьшаться, а вероятность попадания произвольной точки на инвариантную кривую будет быстро стремиться к единице. Тем не менее всегда существует конечная вероятность попадания и в стохастическую область. Если это случилось, то все последующие растяжения будут обнаруживать уже только стохастические траектории.