Если возмущение $\varepsilon$ не очень мало, то существенную роль играют вторичные резонансы [см. (2.4.9)], которые изменяют или разрушают адиабатический инвариант $\tilde{I}_{2}$. Это резонансы между гармониками фазовых колебаний на первичном резонансе (п. 2.4а) и невозмущенными колебаниями основной частоты $\omega_{2}$. В адиабатическом пределе их структура показана на рис. 2.9, a. Устранение малых знаменателей вторичных резонансов можно провести по общей схеме п. $2.4 \mathrm{a}$, хотя здесь имеются, как будет видно ниже, некоторые дополнительные особенности. Начнем с усредненного гамильтониана (2.4.10), в который необходимо ввести новые переменные действие — угол $\left(I_{1}, \varphi_{1}\right)$ для фазовых колебаний. Вместо решения уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.50) исследуем, как и в п. 2.2а, движение в окрестности центра резонанса с помощью теории возмущений. Обозначим через $K_{0}$ преобразованный гамиль тониан и, следуя логике принятых обозначений, будем писать $I_{2}$

вместо $\tilde{J}_{2}$. В приближении (2.4.16) из (2.2.23) сразу же получаем
\[
K_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=\tilde{H}_{0}\left(\tilde{I}_{10}, I_{2}\right)+\tilde{\omega}_{1} I_{1}-\frac{\varepsilon}{16} G I_{1}^{2}+\ldots \text {. (2.4.43) }
\]

Рис. 2.9. Фазовые траеқтории вблизи вторичного резонанса.
$a$ — вторичный резонанс $5 \widetilde{\omega}_{1}=\widetilde{\omega}_{2}$ в переменных $\widetilde{J}_{1}, \widetilde{\theta}_{1} ; 6$ — преобразование к перемен: ным действие — угол $I_{1}$, $\varphi_{1}$ невозмущенных фазовых колебаний на первичном резонансе; $\theta$ — преобразование к резонансным переменным вторичного резонанса.

где $G$ и $\tilde{\omega}_{1}$ — функции $I_{2}$, определяемые выражениями (2.4.38) и (2.4.40). Если усреднение по $\tilde{\theta}_{2}$ справедливо, то разложение (2.4.43) является формальным решением задачи. Оно не зависит от угловых переменных, и, следовательно, существуют два интеграла движения: $I_{2}=\tilde{J}_{2}$ и $I_{1}$. Преобразование к переменным $I_{1}$, $\varphi_{1}$ показано на рис. 2.9 , б.

Чтобы учесть эффект вторичного резонанса, восстановим член $\tilde{H}_{1}^{\prime}$, отброшенный при усреднении по $\tilde{\theta}_{2}$ :
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}})=\widetilde{H}_{1}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}})-\bar{H}_{1}(\tilde{\boldsymbol{J}}, \tilde{\boldsymbol{\theta}}) .
\]

Представим его в виде ряда Фурье
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}=\sum_{l, m}^{\prime} H_{l, m}(\tilde{\boldsymbol{J}}) \exp \left[i \frac{l}{r} \tilde{\theta}_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \tilde{\theta}_{2}\right],
\]

где штрих означает, что член $\mathrm{c} l s+m r=0$ из суммы исключен. В окрестности центра резонанса ( $\widetilde{\theta}_{10}=0$ )
\[
\tilde{H}_{1}^{\prime}=\sum_{l, m}^{\prime} H_{l, m}\left(\tilde{J}_{10}+\Delta \tilde{J}_{1}, \tilde{J}_{2}\right) \exp \left[i \frac{l}{r} \Delta \tilde{\theta}_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \tilde{\theta}_{2}\right] \text {. }
\]

Преобразуя это возмущение к переменным действие — угол низшего порядка, т. е. для линейных колебаний переменных $\Delta \tilde{J}_{1}$, $\Delta \widetilde{\theta}_{1}$ [см. (1.2.68)], и обозначая $\widetilde{\theta}_{2}$ через $\varphi_{2}$, находим
\[
K_{1}=\sum_{l, m}{ }^{\prime} H_{l, m}\left(\tilde{J}_{10}, I_{2}\right) \exp \left[i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \varphi_{2}\right] \exp \left[i \frac{l}{r}\left(\frac{2 I_{1}}{R}\right)^{1 / 2} \sin \varphi_{1}\right] \text {, }
\]

где $R=(F / G)^{1,2}$. Мы рассматриваем невырожденный случай и по. тому пренебрегаем отклонениями $\Delta \tilde{J}_{1}$, считая их малыми в силу(2.4.32). Разлагая вторую экспоненту, получаем
\[
K_{1}=\sum_{l, m, n} \Gamma_{l m n}\left(\tilde{J}_{\mathbf{1 0}}, I\right) \exp \left[i n \varphi_{1}+i\left(l \frac{s}{r}+m\right) \varphi_{2}\right],
\]

где
\[
\Gamma_{l m n}=H_{l, m}\left(\tilde{J}_{10}, I_{2}\right) \mathscr{J}_{n}\left[\frac{l}{t}\left(\frac{2 I_{1}}{R}\right)^{1 / 2}\right],
\]

а $\mathscr{F}_{n}$ — функция Бесселя. Из (2.4.48) [видно, что возможны резонансы между $\varphi_{2}$ и $\varphi_{1}$, поэтому усреднение по $\varphi_{2}$ может привести к отличному от нуля результату. Чтобы получить новый инвариант, запишем полный гамильтониан, используя (2.4.43) и (2.4.48) в виде
\[
K=K_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)+\varepsilon_{2} K_{1}\left(I_{1}, I_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}\right),
\]

аналогичном гамильтониану (2.4.1) с некоторым новым параметром возмущения $\varepsilon_{2}$. Эта аналогия позволяет для устранения сингулярности вторичных резонансов снова использовать метод, описанный в п. 2.4а. Рассмотрим резонанс
\[
\frac{\tilde{\omega}_{2}}{\tilde{\omega}_{1}}=\frac{p}{q},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\omega}_{2}=\frac{\partial K_{0}}{\partial I_{2}}=\omega_{2} \sim 1, \\
\tilde{\omega}_{1}=\frac{\partial K_{0}}{\partial I_{1}} \sim \varepsilon^{1 / 2}
\end{array}
\]

согласно (2.4.4) и (2.4.30). Аналогично (2.4.6) перейдем к новым переменным $\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}, \tilde{\varphi}_{1}, \tilde{\varphi}_{2}$ с медленной фазой
\[
\tilde{\varphi_{1}}=p \varphi_{1}-q \varphi_{2} .
\]

Соответствующая производящая функция имеет вид
\[
F_{2}=\left(p \varphi_{1}-q \varphi_{2}\right) \widetilde{I}_{1}+\varphi_{2} \tilde{I}_{2} .
\]

Усреднение (2.4.48) по быстрой фазе $\varphi_{2}$ с учетом (2.4.51) приводит к соотношению
\[
n q+\left(l \frac{s}{r}+m\right) p=0,
\]

где $l s / r$ — целое число. Это соотношение удовлетворяется, если в (2.4.48) оставить только слагаемые с
\[
n=-j p, \quad l=k r, \quad m=j q-k s,
\]

где $j, k$ — любые целые числа. При $j= \pm 1$, например, $p$-я гармоника фазовых колебаний по $\varphi_{1}$ находится в резонансе с $q$-й гармоникой колебаний по $\varphi_{2}=\tilde{\theta}_{2} ;$ резонансам более высоких гармоник отвечают значения $|j|>1$. Выполняя усреднение для гамильтониана $K$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\bar{K}=\bar{K}_{0}\left(\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}\right)+\varepsilon_{2} \bar{K}_{1}\left(\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{2}, \tilde{\varphi}_{1}\right), \\
\left.\bar{K}_{0}(\tilde{\boldsymbol{I}})=K_{0} ! I_{1}(\tilde{\boldsymbol{I}}), I_{2}(\tilde{\boldsymbol{I}})\right), \\
\bar{K}_{1}=\sum_{j} K_{-j p, i q} e^{-i \tilde{\varphi} \tilde{\varphi}_{1}} .
\end{array}
\]

В последнем выражении амплитуда Фурье $j$-й гармоники колебаний по $\tilde{\varphi}_{1}$ равна
\[
K_{-j p, j q}=\sum_{k} \Gamma_{k r, j q-k s,-j p} .
\]

Поскольку $\bar{K}$ не зависит от $\tilde{\varphi}_{2}$, мы сразу же получаем адиабатический инвариант фазовых колебаний
\[
\widetilde{I}_{2}=I_{2}+\frac{\hat{4}}{p} I_{1}=\text { const }
\]
(таким образом, фазовые колебаняя оказываются интегрируемыми). Сравнивая выражения (2.4.57) и (2.4.59) с (2.4.10) и (2.4.12), видим, что все результаты п. 2.4а применимы и в отношении вторичного резонанса (см. также рис. 2.9, ) .
Амплитуда фазовых колебаний. Для оценки величины вторичного резонанса возьмем наибольший член в (2.4.60) с $|j|=1$ и $|k|=1$, а также положим $q=1$, что отвечает резонансу с основной частотой невозмущенных колебаний по $\tilde{\theta}_{2}=\varphi_{2}$. Из (2.4.49) следует, что он пропорционален функции Бесселя
\[
\mathscr{F}_{p}\left[\left(2 I_{1} / R\right)^{1 / 2}\right],
\]

причем индекс $p$-целое число и в силу (2.4.51) имеет порядок $\varepsilon^{-12}$. Так как $I_{1 \text { макс }}$ порядка $R$, то максимальное значение аргумента $\left(2 I_{1} / R\right)^{1,2}$ порядка единицы. Отсюда при болышом $p$ (малом $\varepsilon$ ) функцию Бесселя можно оценить как
\[
\mathscr{F}_{p}\left(\sqrt{\frac{2 I_{1}}{R}}\right) \sim \frac{1}{p !}\left(\frac{I_{1}}{2 R}\right)^{p / 2} \leqslant \frac{1}{\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right) !} .
\]

Из этого выражения следует, что амплитуда Фурье резонансного члена пропорциональна $I_{1}^{p / 2}$, так что размеры резонанса быстро падают с убыванием $I_{1}$. Заменяя в формулах (2.4.30), (2.4.31) $H_{-r \text {, s }}$ на $K_{-p, q}$ и учитывая оценку (2.4.62), приходим к заключению, что амплитуда и частота колебаний $\widetilde{I}_{1}$ меньше, чем для $\widetilde{J}_{1}$ по крайней мере в $\left[\left(\varepsilon^{-1 / 2}\right) !\right]^{1 / 2}$ раз. Явное выражение для гамильтониана вторичного резонанса будет получено в п: 2.4 в

Хотя анализ вторичных резонансов проводится аналогично анализу первичных резонансов, полученные результаты обладают некоторыми особенностями. Так, размер вторичного резонанса зависит от $\varepsilon$ значительно сильнее, чем первичного ( $\sim \varepsilon^{1 / 2}$ ), поэтому при достаточно малом $\varepsilon$ вторичные резонансы несущественны ${ }^{1}$ ). С другой стороны, при относительно больших $\varepsilon$ для определения гранищы справедливости адиабатической инвариантности вторичные
1) Напомним, что этот вывод, как и вышеприведенные оценки для вторичных резонансов, справедлив лишь для малых фазовых колебаний на первичном резонансе. Вблизи сепаратрисы резонанса положение существенно изменяется (см. п. 4.3б). — Прим. ред.

резонансы могут быть столь же важны, как и первичные резонансы.

Быстрое уменьшение размера вторичных резонансов с возмущением приводит к устойчивости движения внутри резонансов (в «островах») при умеренной величине возмущения. Более того, даже при весьма больших возмущениях, как, например, в случае на рис. $1.13,8$, интегралы движения сохраняются не только внутри первичных, но и внутри вторичных резонансов. Следствия этой устойчивости будут более подробно рассмотрены ниже.

Описанная процедура устранения малых знаменателей вторичных резонансов в окрестности центра первичного резонанса [213] является одним из вариантов метода ренормализации, в котором преобразование от резонанса $n$-го порядка к резонансу $(n+1)$-го порядка строится таким образом, чтобы сохранить форму гамильтониана, изменяя лишь его параметры. Эта идея является основой некоторых методов анализа перехода от регулярного движения к хаотическому; эти методы анализа будут рассмотрены в гл. 4.