Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике При использовании теории возмущений часто необходимо иметь разложение выше первого порядка. Так было в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а), где в силу вырождения потребовалось провести вычисления по крайней мере во втором порядке, чтобы получить хоть какое-то предгтавление об истинных фазовых траекториях даже при низкой энергии. Имеются и другие случаи (см., например, п. 2.5в), когда в первом порядке получается нулевой результат, а отличные от нуля члены возникают только во втором или более высоких порядках. Применение классических методов Пуанкаре–Цейпеля для разложения выше первого порядка становится все более и более утомительным. При классическом подходе для преобразований от старых переменных $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ к новым $\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}$ используется производящая функция смешанного набора переменных, например $S(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)$. В результате и само преобразование также получается в смешанных переменных в то время как желательно было бы определить новые переменные как функции старых $\overline{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{J}, t)$, или наоборот. То же самое справедливо и для соотношения между новым и старым гамильтонианами Если $\bar{H}, H$ и $S$ можно представить в виде рядов по степеням $\varepsilon$, то относительно нетрудно получить разложение в любом порядке [34]. Однако уже во втором порядке по $\varepsilon$ появляются громоздкие выражения [см., например, (2.2.19)] без какой-либо явной системы в них. В более высоких порядках количество алгебраических выкладок становится удручающе велико, а физические закономерности оказываются глубоко скрытыми. Значительным шагом в развитии гамильтоновой теории возмущений явилось введение преобразований Ли в работах Хори [199] и Гарридо [150]. При использовании этих преобразований не возникают функции смешанного набора переменных, а все члены рядов получаются в результате последовательного применения скобок Пуассона, что делает теорию канонически инвариантной. Депри [102] усовершенствовал этот метод и получил соотношение для определения $n$-го члена разложения преобразования в степенной ряд по $\varepsilon$. Дьюар [105] разработал вариант метода, пригодный для изучения систем, не допускающих представления преобразования в виде степенного ряда. Драгт и Финн [107] использовали метод Ли при изучении сохранения магнитного момента в дипольном поле. Хаулэнд [203] применил этот метод в сверхсходящейся теории возмущений Колмогоровг. Существенный вклад в разработку метода внесли Кауфман и сотр. $[214,51,52,224,225$ ], а также Мак-Намара [290]. Новая техника построения разложений, особенно эффективная в высоких порядках, описана Кари [50], который следовал работе Драгта и Финна [108]. Изложение метода Ли содержится в монографиях Найфе [313] и Джакалья [153], а также в методических статьях Кари $[49,50]$ и Литлджона [280]. Наше изложение основано главным образом на последних статьях. В п. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна-частица.
|
1 |
Оглавление
|
