Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

При использовании теории возмущений часто необходимо иметь разложение выше первого порядка. Так было в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а), где в силу вырождения потребовалось провести вычисления по крайней мере во втором порядке, чтобы получить хоть какое-то предгтавление об истинных фазовых траекториях даже при низкой энергии. Имеются и другие случаи (см., например, п. 2.5в), когда в первом порядке получается нулевой результат, а отличные от нуля члены возникают только во втором или более высоких порядках.
1) Отметим, что преимущество метода ДлТ реально проявляется только в том (по-видимому, редком) случае, когда подбором коэффициентов $C_{l m}$ произведение (2.4.106) можно представить как достаточно простую функцию $J_{1}$.- Прим. ред.

Применение классических методов Пуанкаре—Цейпеля для разложения выше первого порядка становится все более и более утомительным. При классическом подходе для преобразований от старых переменных $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ к новым $\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}$ используется производящая функция смешанного набора переменных, например $S(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)$. В результате и само преобразование также получается в смешанных переменных
\[
\overline{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)=\frac{\partial S(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)}{\partial \vec{J}},
\]

в то время как желательно было бы определить новые переменные как функции старых $\overline{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{J}, t)$, или наоборот. То же самое справедливо и для соотношения между новым и старым гамильтонианами
\[
\bar{H}(\overline{\boldsymbol{\theta}}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)=H(\boldsymbol{\theta}, J, t)+\frac{\partial S(\boldsymbol{\theta}, \overline{\boldsymbol{J}}, t)}{\partial t} .
\]

Если $\bar{H}, H$ и $S$ можно представить в виде рядов по степеням $\varepsilon$, то относительно нетрудно получить разложение в любом порядке [34]. Однако уже во втором порядке по $\varepsilon$ появляются громоздкие выражения [см., например, (2.2.19)] без какой-либо явной системы в них. В более высоких порядках количество алгебраических выкладок становится удручающе велико, а физические закономерности оказываются глубоко скрытыми.

Значительным шагом в развитии гамильтоновой теории возмущений явилось введение преобразований Ли в работах Хори [199] и Гарридо [150]. При использовании этих преобразований не возникают функции смешанного набора переменных, а все члены рядов получаются в результате последовательного применения скобок Пуассона, что делает теорию канонически инвариантной. Депри [102] усовершенствовал этот метод и получил соотношение для определения $n$-го члена разложения преобразования в степенной ряд по $\varepsilon$. Дьюар [105] разработал вариант метода, пригодный для изучения систем, не допускающих представления преобразования в виде степенного ряда. Драгт и Финн [107] использовали метод Ли при изучении сохранения магнитного момента в дипольном поле. Хаулэнд [203] применил этот метод в сверхсходящейся теории возмущений Колмогоровг. Существенный вклад в разработку метода внесли Кауфман и сотр. $[214,51,52,224,225$ ], а также Мак-Намара [290]. Новая техника построения разложений, особенно эффективная в высоких порядках, описана Кари [50], который следовал работе Драгта и Финна [108]. Изложение метода Ли содержится в монографиях Найфе [313] и Джакалья [153], а также в методических статьях Кари $[49,50]$ и Литлджона [280]. Наше изложение основано главным образом на последних статьях.

В п. 2.5а описаны основы метода Ли, который затем используется для получения степенных разложений Депри (п. 2.56). В качестве иллюстрации получены поправки второго порядка к гамильтониану маятника. С помощью модификации метода Ли в п. 2.5в рассмотрены ряды для адиабатических инвариантов и их приложение к вычислению инварианта второго порядка изменяющегося во времени гармонического осциллятора, а также средней силы, действующей на заряженную частицу в поле электростатической волны. В заключение кратко описана методика Мак-Намары [290] получения адиабатических инвариантов высших порядков. В качестве примера рассмотрен резонанс волна-частица.

1
Оглавление
email@scask.ru