Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра стохастичности K. Мы уже видели в п. 3.1б, что стандартное отображение локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на сепаратрисное отображение.
Для удобства перепишем отображение Улама (3.4.6) еще раз:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+2 \pi M / u_{n+1} .
\end{array}
\]

Чтобы получить стандартное отображение, линеаризуем (4.1.16)
1) Это правило справедливо только в случае перекрытия близких по ширине резонансов, см. рис. 4.12.- Прим. ред.

по переменной действия $u$ вблизи неподвижной точки $u=u_{1}$. Согласно табл. 3.1, имеем
\[
\frac{2 \pi M}{u_{1}}=2 \pi \mathrm{m},
\]

где $m-$ целое число. Подставляя $u_{n}=u_{1}+\Delta u_{n}$ и сдвигая фазу $\theta_{n}=\psi_{n}-\pi\left(-\pi<\theta_{n} \leqslant \pi\right)$, получаем стандартное отображение
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}+K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+\mathbf{1}}=\theta_{n}+I_{n+\mathbf{1}},
\end{array}
\]

где
\[
I_{n}=\frac{-2 \pi M \Delta u_{n}}{u_{1}^{2}}
\]

есть новая переменная действия, а
\[
K=\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} .
\]
— параметр стохастичности. Следовательно, параметр $K$ связан со старой переменной действия $u_{1}$. Переход от отображения Ферми к стандартному отображению иллюстрируется на рис. 4.2 для двух значений $u_{1}$, приводящих к различным значениям $K$.
Проделаем то же самое с сепаратрисным отображением (3.5.26):
\[
\begin{array}{l}
w_{n+1}=w_{n}-w_{0} \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right| .
\end{array}
\]

Неподвижные точки $w=w_{1}$ даются выражением
\[
Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{1}}\right|=2 \pi m .
\]

Подставляя $w_{n}=w_{1}+\Delta w_{n}$ и линеаризуя по $w$, снова получим стандартное отображение (4.1.3), где
\[
I_{n}=\frac{-Q_{0} \Delta w_{n}}{w_{1}},
\]

и
\[
K=\frac{Q_{0} w_{0}}{w_{1}} .
\]

Неподвижные точки. Неподвижные точки стандартного отображения получаются из условия:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=2 \pi m \\
\theta_{1}=0, \pi .
\end{array}
\]

Для каждого целого числа $m$ имеются две неподвижные точки.

Линеаризуя (4.1.3а), как и в п. 3.4в, получим матрицу преобразования:
\[
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & \pm K \\
1 & 1 \pm K
\end{array}\right)
\]

Станарартное

Рис. 4,2. Локальная аппроксимация отображения Улама стандартным отображением.
$a$ — локальная стохастичность для малых $K$ (исходное отображение линеаризовано в окрестности $u_{1 a}$ ); 6 — глобальная стохастичность для больших $K$ (линеаризация в окрестности $u_{1 b}$ ).

где верхний знак соответствует $\theta_{1}=0$, а нижний $\theta_{1}=\pi$. При этом $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, как и должно быть для отображения, сохраняющего фазовую площадь. Согласно (3.3.55), условие устойчивости зависит от следа матрицы $\mathrm{A}$ и имеет вид
\[
|2 \pm K|<2 \text {. }
\]

Поэтому неподвижная точка $\theta_{1}=0$ всегда неустойчива ${ }^{1}$ ), а эллиптическая точка $\theta_{1}=\pi$ превращается в гиперболическую с отражением при
\[
K>4 .
\]

В этом случае все неподвижные точки становятся неустойчивыми.
В общем случае отображение всегда периодично по фазе $\theta$, но не по $I$. Однако стандартное отображение периодично также и по $I$ (4.1.3б). Эта особенность приводит к существованию неподвижных точек другого типа. С учетом периодичности по $I$ соотношения (4.1.10) нужно заменить теперь на следующие:
\[
I_{1}=2 \pi m, \quad К \sin \theta_{1 l}=2 \pi l,
\]

где $m, l$ — целые числа.
«Неподвижные» точки с $l
eq 0$ соответствуют на самом деле ускорительным режимам движения [70], поскольку $I$ увеличивается на $2 \pi l$ при каждой итерации. Условие устойчивогти(4.1.12) заменяется на
\[
\left|2 \pm K \cos \theta_{1 l}\right|<2 .
\]

Отсюда и из (4.1.14) следует, что с ростом $l$ (и уменьшением $\cos \theta_{1 l}$ ) интервалы устойчивости существуют для сколь угодно больших значений $K$. В отличие от этого для $l=0$ имеется граница устойчивости $K<4$. Это является любопытной особенностью именно стандартного отображения, и поэтому не следует искать ускорительные режимы в отображениях, которые лишь локально аппроксимируются стандартным отображением.
Периодические точки. Чириков [70], Грин [165], Лихтенберг и др. [272], а также Шмидт [363] исследовали различные семейства периодических точек ( $k>1$ ). Их можно разделить на два класса: первичные, которые существуют и в пределе $K \rightarrow 0$, и бифуркационные, которые возникают тогько выше некоторого порогового значения $K$.

Остановимся подробно на периодических точках с периодом $k=2$. Такие точки образуют пары: $\left(I_{1}, \theta_{1}\right)$ и $\left(I_{2}, \theta_{2}\right)$. Итерируя отображение дважды, получаем
\[
\begin{array}{l}
I_{2}=I_{1}-K \sin \theta_{1}, \\
\theta_{2}=\theta_{1}+I_{2}-2 \pi m_{1},
\end{array}
\]
1) Считается, что $K>0 .-$ Прик. ред.

\[
\begin{array}{l}
I_{1}=I_{2}+K \sin \theta_{2}, \\
\theta_{1}=\theta_{2}+I_{1}-2 \pi m_{2},
\end{array}
\]

где $m_{1}$ и $m_{2}$ — целые числа. Условие устойчивости определяется следом матрицы
\[
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{2} \\
1 & 1+K \cos \theta_{2}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{1} \\
1 & 1+K \cos \theta_{1}
\end{array}\right)
\]

и приводится к виду
\[
-4<2 K\left(\cos \theta_{1}+\cos \theta_{2}\right)+K^{2} \cos \theta_{1} \cos \theta_{2}<0 .
\]

Если сложить (4.1.16a) и (4.1.16в), видно, что имеются два случая: a) $\theta_{2}=-\theta_{1}$ и б) $\theta_{2}=\theta_{1}-\pi$, причем $0<\theta_{1} \leqslant \pi$. Для случая ха» из (4.1.16) следует соотношение
\[
2 \pi p-4 \theta_{1}=K \sin \theta_{1},
\]

которое определяет $\theta_{1}$. Это выражение при $p=m_{1}-m_{2}=1$ дает первичные периодические точки, а при $p>1$ — бифуркационные. Условие устойчивости (4.1.18) принимает вид
\[
-4<K \cos \theta_{1}<0 \text {. }
\]

Первичные точки $\left(I_{1,2}=2 \pi\left(m_{2}+1 / 2\right) ; \theta_{1,2}= \pm \pi / 2\right.$ при $\left.K \ll 1\right)$ неустойчивы для любых $K$, поскольку $\theta_{1} \leqslant \pi / 2$. Первые бифуркационные точки возникают при $K=4$, когда неподвижная точка $\left(I_{1}=2 \pi m_{2}, \theta_{1}=\pi\right)$ становится неустойчивой, и остаются устойчивыми при $4<K<2 \pi$. Интервалы устойчивости имеются для сколь угодно больших $K$, если при этом $p$ достаточно велико.
В случае «б» из (4.1.16) следует соотношение
\[
2 \pi(p-1)=K \sin \theta_{1},
\]

которое определяет $\theta_{1}$, а условие устойчивости принимает вид
\[
K^{2} \cos ^{2} \theta_{1}<4 \text {. }
\]

Здесь также имеются первичные точки $I_{1,2}=2 \pi\left(m_{2}+1 / 2\right)$; $\theta_{1}=\pi ; \dot{\theta}_{2}=0$, устойчивые при $K<2$. Первые бифуркационные точки для $p=2$ возникают при $K=2 \pi$, когда аналогичные точки в случае «а» становятся неустойчивыми. Для случая «б» точки устойчивы при $6,28<K<6,59$. Как и в случае «а», имеются интервалы устойчивости для произвольно больших значений $K$ :
\[
(2 \pi)^{2}(p-1)^{2}<K^{2}<(2 \pi)^{2}(p-1)^{2}+4 .
\]

Отметим, что другие отображения могут и не иметь этого специфического свойства [272]. Периодические точки большего периода $(k>2)$ исследованы Шмидтом [353] и Шмидтом и Билеком [364].
Граница стохастичности. Численно легко получить сотни тысяч итераций стандартного отображения (4.1.3) и, таким образом, исследовать его динамику для различных значений $K$ и начальных условий. На рис. 4.3 показано изменение структуры фазовой плоскости с ростом $K$. При малом $K$ ясно видны первичные эллиптические точки $k=1,2$, а также гиперболические точки с их стохасти-

Рис. 4.3. Фазовая плоскость стандартного отображения для разных $K$ (по данным работы [22]).
a — локальная стохастичность вблизи сепаратрис; видны целый и полуцелый резонансы; 6 — глобальная стохастичность; $\boldsymbol{\theta}$ — полное разрушение полуцелого резонанса; виден вторичный резонанс 4-й гармоники вокруг неподвижной точки; 2 — первичная неподвнжная точка на пороге устойчивости; инвариантные кривые вытянуты по направленй рождения двух бифуркационных точек.

ческими слоями. Переход от локальной к глобальной стохастичности происходит между $K=0,95$ и $K=1,00$. Более детальные численные исследования дают для границы стохастичности $K \approx 0,9716$ (§44). С ростом $K$ первичные точки периода 2 , а затем и периода 1 становятся неустойчивыми, однако, как видно из рисунка, островки устойчивости существуют и при больших $K$. Таким образом, стандартное отображение, в котором для любого ненулевого значения $K$ нет ни полной интегрируемости, ни сплошного хаоса, является характерным представителем типичной гамильтоновой системы.

На рис. 4.4 показаны четыре траектории стандартного отображения для $K=0,97$, чуть ниже границы стохастичности. Две из них лежат на инвариантных кривых, изолирующих стохастические слои целого ( $k=1$ ) и полуцелого ( $k=2$ ) резонансов. Однако резонанс с $k=4$ уже поглощен стохастическим слоем целого резонанса.
Гамильтониан. Аналогично отображению Улама (п. 3.4д) гамильтониан стандартного отображения получается с помощью периодической $\delta$-функции и имеет вид
\[
H=\frac{I^{2}}{2}+K \cos \theta \sum_{m=-\infty}^{\infty} \exp (2 \pi i m n),
\]

где номер итерации $n$ играет роль времени. Предположим, что $\theta$ — медленная переменная:
\[
\frac{d \theta}{d n} \ll 2 \pi .
\]

Учитывая, что основной вклад дают члены с медленно меняющейся фазой, оставим только слагаемые с $m=0$ и $m= \pm 1$ :
\[
H=\frac{I^{2}}{2}+K \cos \theta+2 K \cos \theta \cos 2 \pi n .
\]

Последний член в правой части будем считать возмущением, тогда невозмущенный гамильтониан
\[
H_{0}=\frac{l^{2}}{2}+K \cos \theta
\]

описывает маятник (п. 1.3а). Его фазовая плоскость показана на рис. 1.4. Частота малых фазовых колебаний вблизи эллиптической точки $\theta=\pi$ равна:
\[
\omega_{0}=K^{1 / 2},
\]

а амплитуда колебаний по $I$ есть
\[
\Delta I_{\text {макс }}=2 K^{12} .
\]

Поскольку расстояние $\delta I$ между целыми резонансами равно для стандартного отображения его периоду $2 \pi$, параметр перекрытия резонансов имеет вид
\[
\frac{2 \Delta I_{\text {макс }}}{\delta I}=\frac{4 K^{1 / 2}}{2 \pi} .
\]

Это отношение можно выразить через частоту малых фазовых колебаний (4.1.28) или локальное число вращения $\alpha_{0}=\omega_{0} / 2 \pi$ :
\[
\frac{2 \Delta I_{\mathrm{MaKc}}}{\delta I}=4 \alpha_{0}=\frac{4}{Q_{0}} .
\]

Здесь $Q_{0}=1 / \alpha_{0}$ — период малых колебаний, выраженный в числе итераций отображения. Соотношєние (4.1.31), связывающее отно-

Рис. 4.4. Четыре траектории стаидартного отображения для $K=0,97$ (по данным работы [165]).
Верхняя и нижняя группы точек принадлежат одной траектории.

сительный размер резонанса с егс числом вращения, справедливо для всех соседних резонансов любого порядка ${ }^{1}$ ). Например, из того, что согласно численным данным граница стохастичности приблизительно соответствует появлению вторичных резонансов шестой гармоники ( $\alpha_{0}=1 / 6$ ), вытекает правило «двух третей» $2 \Delta I_{\text {макс }} / \delta I \approx 2 / 3$.
1) Конкретный смысл этого «универсального» утверждения зависит от величины $\delta I$, см. ниже конец п. 4.4а.- Прим. ред.