Рассмотрим колебания гармонического осциллятора с медленно изменяющейся возвращающей силой (или частотой). Эта задача существенно отличается от предыдущей наличием явной зависимости от времени, так что фактически мы имеем дело с двумя степенями свободы. Запишем уравнение движения такого осциллятора (рис. 2.1, б) в виде
\[
\ddot{x}+\omega^{2}(\varepsilon t) x=0,
\]

где малый безразмерный параметр $\varepsilon$ введен опять-таки для явного выделения возмущения и по окончании вычислений полагается равным единице. Истинным малым параметром разложения в рассматриваемом случае является отношение периода колебаний к характерному временно́му масштабу изменения возвращающей силы
\[
\left[\frac{1}{\omega} \cdot \frac{\dot{\omega}}{\omega}\right] .
\]

Ниже используется разложение не непосредственно для $x$, а для некоторой вспомогательной переменной $y$, скорость изменения членов разложения которой тем меньше, чем выше их порядок. Прежде всего, переходя к новой независимой переменной $\tau=\varepsilon t$, запишем уравнение (2.1.16) в виде
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{2} \omega^{2}(\tau) x=0 .
\]

Введем теперь новую переменную $y$ посредством равенства
\[
x=\exp \left[\int y d \tau\right] .
\]

Обозначая $d x / d \tau$ как $x^{\prime}$, находим
\[
x^{\prime}=y x, \quad x^{\prime \prime}=y^{2} x+y^{\prime} x .
\]

Подстановка последних соотношений в уравнение (2.1.18) приводит к уравненню Риккати
\[
\varepsilon^{2}\left(y^{2}+y^{\prime}\right)+\omega^{2}=0 .
\]

Представим $y$ в виде степенного ряда
\[
y=\varepsilon^{-1} y_{0}+y_{1}+\varepsilon y_{2}+\ldots .
\]

и подставим это разложение в (2.1.20). В низшем порядке по $\varepsilon$ находим
\[
y_{0}= \pm i \omega,
\]

а в следующем порядке
\[
2 y_{0} y_{1}+y_{0}=0 .
\]

Использование (2.1.21) и (2.1.22) совместно с (2.1.19) дает
\[
x=\exp \left[\int\left(\varepsilon^{-1} y_{0}-\frac{1}{2} \frac{y_{0}^{\prime}}{y_{0}}\right) d \tau\right] .
\]

Интегрируя второе слагаемое и учитывая равенство $y_{0}= \pm i \omega$, получаем
\[
x=\frac{A}{\omega^{1.2}} \exp \left[ \pm i \int \omega d t\right] .
\]

Рассмотрим медленное изменение частоты от значения $\omega_{1}$ при $t<t_{1}$ до значения $\omega_{2}$ при $t>t_{2}$ и вычислим интеграл действия
\[
J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d x
\]

в каждой из этих двух областей ( $t<t_{1}$ и $t>t_{2}$ ), где $\omega$ по предположению не изменяется.

Полагая $p=m \dot{x}$ и переходя в (2.1.23) к действительному решению
\[
x=A \omega^{-1 / 2} \cos (\omega t+\delta),
\]

находим, что $J=(1 / 2) m A^{2}$ в обеих областях, несмотря на то что как частота $\omega$, так и энергия $E=(1 / 2) m \dot{x}_{\text {макс }}^{2}=\omega J$ могли измениться сколь угодно сильно. Действие $J$ является, таким образом, адиабатическим инвариантом движения, т. е. сохраняется в пределах точности используемых разложений, полученных в предположении медленности изменения параметров. Существование инварианта позволяет легко получить решение, хотя гамильтониан и не сохраняется.

Вычисление действия в области $t_{1}<t<t_{2}$, где происходит медленное изменение параметров, приводит к тому же результату. Более того, описанное разложение можно выполнить во всех порядках по малому параметру. Это было сделано Кулсрудом [244] для линейного осциллятора и затем обобщено Крускалом [239] и другими (см. [265] и § 2.3) на более сложные системы. Подчеркнем еще раз существенное отличие этого разложения от разложения, описанного в п. $2.1 \mathrm{a}$. Наличие явной зависимости от времени эквивалентно движению с двумя степенями свободы. При этом решения в виде рядов, как правило, не сходятся к точным решениям, а оказываются асимптотическими. Это понятие будет подробно рассмотрено в начале § 2.3.