Теперь мы опишем метод ДЛТ (Дуннета-Лейнга-Тейлора) [111], позволяющий в некоторых случаях устранять знаменатели сразу всех первичных резонансов. Этот метод был вначале использован при изучении движения заряженной частицы в пространственно периодическом магнитном поле [111], а позже применен для анализа резонансного взаимодействия волны и частицы (п. 2.4в); последний случай рассмотрен ниже. Обобщение этого метода на более высокие порядки по параметру разложения выполнено МакНамарой [290] и будет описано в конце следующего параграфа.

Метод ДЛТ был разработан для изучения автономных систем с двумя степенями свободы и невозмущенным гамильтонианом $H_{0}$ специального вида
\[
H_{0}(J)=a\left(J_{1}\right)+\omega_{2} J_{2},
\]

где $\omega_{2}$ – постоянная частота, так что обе частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ не за-
1) Только для одной (по-видимому, правой) половины поверхности сечения на рис. 2.11. Для другой половины фазовые колебания связаны с членом $m
eq l$ в гамильтониане $(2.4 .64)(|m-l|=1)$. То же касается и частоты малых колебаний, например, значение $\alpha=1 / 5$ относится только к правому резонансу на рис. $2.11,6 .-$ Прим. ред.

висят от одной из переменных действия (в нашем случае от $J_{2}$ ). Такая форма гамильтониана не является исключительной и даже типична для неавтономных систем с одной степенью свободы, которые можно изучать в расширенном фазовом пространстве (см. п. 1.26$\left.)^{1}\right)$.

Метод ДЛТ использует определенную свободу в выборе интегралов движения. На поверхности сечения $\theta_{2}=$ const инвариантные линии являются прямыми $J_{1}=$ const. Но и любая функция $I_{0}\left(J_{1}\right)$ также приводит к этим же прямым
\[
I_{0}\left(J_{1}\right)=\text { const. }
\]

Поэтому $I_{0}$ тоже можно рассматривать как интеграл невозмущенного движения и выбирать его конкретную форму по своему усмотрению.

Непригодность классической теории возмущений для описания движения вблизи резонанса обсуждалась в п. 2.2б; там же и в п. 2.4в были рассмотрены конкрегные примеры резонансных знаменателей. Неудача классического подхода имеет простое физическое объяснение: топология истинных инвариантных кривых $I=$ const отличается вблизи резонанса от топологии невозмущенных инвариантных кривых $I_{0}=$ const. Вообще говоря, при малом $\varepsilon$ линии $I_{0}+\varepsilon I_{1}=$ const могут топологически отличаться от линий $I_{0}=$ $=$ const, только если $I_{1}$ велико. Поэтому появление больших значений $I_{1}$ есть просто отражение топологических изменений в теории возмущений. Это наводит на мысль о том, что можно улучшить теорию возмущений, если выбрать такие невозмущенные интегралы движения, чтобы отличие в топологии обеспечивалось при малых $I_{1}$. Так будет в том случае, когда $d I_{0} / d J_{1}$ обращается в нуль, т. е. инвариантные кривые $I_{0}=$ const соответствуют максимуму или минимуму по невозмущенному действию $J_{1}$.
Теория возмущений. Для построения разложения нового инварианта $I$ заметим, что, согласно (1.2.21), любой интеграл движения удовлетворяет условию
\[
[I, H]=0 .
\]

Разлагая $H$ и $I$, получаем
\[
\begin{array}{l}
H(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(\boldsymbol{J})+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})+\ldots, \\
I(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=I_{0}\left(J_{1}\right)+\varepsilon I_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})+\ldots .
\end{array}
\]

где $I_{0}$ выбрано так, что является функцией только $J_{1}$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим, что в нулевом порядке условие
\[
\left[I_{0}, H_{0}\right]=0
\]
1) Метод ДЛТ применим и непосредственно к неавтономным системам с одной степенью свободы, причем без ограничений на вид невозмущенного гамильтониана $H_{0}(J)$. – Прим. ред.

всегда удовлетворяется, ибо по построению $I_{0}$ и $H_{0}$ не зависят от угловых переменных. В первом порядке имеем
\[
\left[I_{1}, H_{0}\right]+\left[I_{0}, H_{1}\right]=0,
\]

или
\[
\omega_{1} \frac{\partial I_{1}}{\partial \theta_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial I_{1}}{\partial \theta_{2}}=\frac{d I_{0}}{d J_{1}} \frac{d H_{1}}{d \theta_{1}} .
\]

Разлагая $H_{1}$ и $I_{1}$ в ряд Фурье
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=\sum_{l, m} H_{l m}(J) e^{i\left(l \theta_{1}+m \theta_{2}\right)}, \\
I_{1}=\sum_{l, m} I_{l m}(J) e^{i\left(l \theta_{1}+m \theta_{2}\right)},
\end{array}
\]

получаем из $(2.4 .103)$
\[
\left(l \omega_{1}+m \omega_{2}\right) I_{l_{m}}=l \frac{d I_{0}}{d J_{1}} H_{l_{m}} .
\]

Чтобы найти инвариант, положим
\[
\frac{d I_{0}}{d J_{1}}=\prod_{l^{\prime}, m^{\prime}} C_{l^{\prime}, m^{\prime}}\left(\omega_{1} l^{\prime}+\omega_{2} m^{\prime}\right),
\]

где $C_{l^{\prime}, m^{\prime}}$ – некоторые коэффициенты, а произведение берется по всем тем значениям индексов $l^{\prime}, m^{\prime}$, для которых амплитуды Фурье $H_{l^{\prime}, m^{\prime}}$ отличны от нуля. По построению $d I_{0} / d J_{1}$ обращается в нуль на каждом резонансе, и величины $I_{l m}$, согласно (2.4.105), оказываются конечными. Новый инвариант имеет вид
\[
I=I_{0}+\varepsilon I_{1}=\text { const, }
\]

где $I_{0}$ находится интегрированием (2.4.106), а $I_{1}$ определяется равенствами (2.4.105) и (2.4.104б).
Резонанс волна – частица. Для иллюстрации метода рассмотрим гамильтониан (2.2.67) для волны, распространяющейся под углом $45^{\circ}$ к магнитному полю [403 ]. Перейдем в систему отсчета волны $\left(\omega \equiv 0\right.$ ) и введем безразмерные переменные: $k_{\perp}=k_{z}=1, \Omega=1$, $M=1, e \Phi_{0}=1, \rho=\left(2 P_{\varphi}\right)^{1 / 2}$. Ииеем
\[
H=\frac{1}{2} P_{\psi}^{2}+P_{\varphi}+\varepsilon \sum_{m=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{m}(\rho) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

В соответствии с (2.4.106) полагаем
\[
\begin{array}{r}
\frac{d I_{n}}{d P_{\psi}}=\prod_{m=-\infty}^{\infty} C_{m}\left(P_{\psi}-m\right) \equiv \\
\equiv \pi P_{\psi} \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{P_{\psi}^{2}}{m^{2}}\right)=\sin \pi P_{\psi} .
\end{array}
\]

С помощью выражения (2.4.105) находим
\[
I_{m}=\sin \pi P_{\downarrow} \frac{\mathscr{J}_{m}(\rho)}{P_{\psi}-m} .
\]

Интеграл движения первого порядка равен
\[
I=\frac{1}{\pi} \cos \pi P_{\psi}-\varepsilon \sin \pi P_{\psi} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}(\rho) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{P_{\gamma}-m} .
\]

Рис. 2.12. То же, что и на рис. 2.10 согласно теории ДЛТ первого порядка (по данным работы [403]).

Заметим, что второй член этого выражения остается малым даже при резонансах.

На рис. 2.12 показаны инвариантные кривые $I=$ const на поверхности сечения $\varphi=\pi$ для тех же значений параметров, что и результаты численного моделирования на рис. 2.10. Согласие между этими рисунками хорошее, хотя, конечно, области хаотического движения, которые наблюдаются при сильном возмущении на рис. $2.10,6$, нельзя получить из инвариантных кривых.
Отдельный резонанс. Сравним интеграл движения $I$ в методе ДЛТ с интегралом резонансной теории возмущений в случае одного резонанса. Для гамильтониана
\[
H=a\left(J_{1}\right)+\omega_{2} J_{2}+\varepsilon A \sin \left(l \theta_{1}-m \theta_{2}\right)
\]

преобразование $(2.4 .6)$ к резонансным переменным дает
\[
\tilde{H}=a\left(l \widetilde{J}_{1}\right)+\omega_{2}\left(\tilde{J}_{2}-m \widetilde{J}_{1}\right)+\varepsilon A \sin \tilde{\theta}_{1} .
\]

Так как $\tilde{H}$ не зависит от $\tilde{\theta}_{2}$, то $\widetilde{J}_{2}=$ const. Поскольку $\widetilde{H}=$ const, то
\[
\tilde{I}=a\left(l \widetilde{J}_{1}\right)-m \omega_{2} \tilde{J}_{1}+\varepsilon A \sin \tilde{\theta}_{1}
\]

также является интегралом движения. Применяя метод ДЛТ, получаем из (2.4.106) уравнение
\[
\frac{d I_{0}}{d J_{1}}=\frac{d a}{d J_{1}}-\frac{m}{l} \omega_{2} .
\]

В результате приходим к интегралу движения $I$, который точно совпадает с $\tilde{I}$.

Распространение метода ДЛТ на более общие, чем (2.4.96), гамильтонианы до сих пор не сделано. Неясно также, как выбирать $I_{0}$ в тех случаях, когда амплитуды $H_{l m}$ всех гармоник отличны от нуля, так как при этом производная $d I_{0} / d J_{1}$ должна обращаться в нуль для всех рациональных значений отношения частот. Тем не менее в пределах этих ограничений метод ДЛТ весьма полезен для глобального устранения резонансных знаменателей ${ }^{1}$ ).