С учетом возмущения гамильтониан системы зависит от угловых переменных (3.1.12) и, как мы видели в гл. 2, резонансы между степенями свободы могут нарушить сходимость рядов теории возмущений. Тем не менее можно доказать теорему (теорема KAM), согласно которой при выполнении определенных (перечисленных ниже) условий существуют инвариантные торы
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_{0}+\boldsymbol{v}(\xi, \varepsilon), \\
\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{u}(\xi, \varepsilon) .
\end{array}
\]

Здесь $\boldsymbol{u}$ и $\boldsymbol{v}$ периодичны по $\xi$ и равны нулю при $\varepsilon=0$, а вектор $\xi$ связан с невозмущенными частотами ${ }^{1}$ ) на торе соотношением $\dot{\xi}=\boldsymbol{\omega}$. Условия применимости теоремы КАМ следующие:
1) частоты должны быть линейно независимы в некоторой области $\boldsymbol{J}$ (условие нелинейности невозмущенных колебаний ${ }^{2}$ ))
\[
\sum_{i} m_{i} \omega_{i}(J)
eq 0,
\]

где $\omega_{i}$ — компоненты вектора $\boldsymbol{\omega}=\partial H_{0} / \partial \boldsymbol{J}$, а $m_{i}$ — компоненты целочисленного вектора $\boldsymbol{m}$;
2) возмущение должно иметь достаточно большое число непрерывных производных (условие гладкости возмущения);
3) система должна находиться достаточно далеко от всех резонансов, так что
\[
|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}| \geqslant \gamma|\boldsymbol{m}|^{-\tau}
\]

для всех $m$. Здесь $\tau$ зависит от числа степеней свободы и гладкости возмущения $H_{1}$, а $\gamma$ зависит от величины возмущения $\varepsilon H_{1}$ и нелинейности $G$ невозмущенного гамильтониана $H_{0}$. Поскольку неравенство (3.2.3) не может выполняться при слишком большом значении $\gamma$, которое растет с $\left|\varepsilon H_{1}\right|$ и $1 / G$, инвариантные торы существуют лишь при достаточно малой величине возмущения. Из условий 1 и 3 следует также и условие умеренной нелинейности ${ }^{3}$ ). Если условия теоремы выполнены, то, например, окружности отображения поворота слегка деформируются под действием возмущения, не изменяя топологии, как это показано для сечения инвариантного тора на рис. 3.2 , $a$.
1) Лучше было бы сказать средними частотами, поскольку успех теории КАМ связан прежде всего с фиксацией средних частот, а не начальных условий, как это обычно делается (см. примечанне редактора на с. 168). Именно для этих фиксированных частот и справедливы условия (3.2.2) и (3.2.3), приведенные ниже.- Прим. ред.
2) Это последнее условие имеет вид: $\operatorname{det}\left(\partial \omega_{i} / \partial J_{k}\right)
eq 0$ [см. (3.2.10)]; условие же (3.2.2) следует из (3.2.3).- Прим. ред.
) См. (3.2.36).- Прим. перев.

Эта теорема была доказана Арнольдом [10] для аналитического возмущения $H_{1}$ на основе работы Колмогорова [229] и Мозером [308] при условии существования достаточно большого числа не-

Рис. 3.2. К теории КАМ.
a-в нелинейной системе возмущенная инвариантная кривая лежит вблизи невозмуисеной (окружность): 6 — целые резонансы; $ө$ — дробные резонансы между двумя целыми резонансами 6 ; области резонансов заштрихованы; $\Delta \omega_{1}=G \Delta J_{1} ; \Delta \omega_{1} / \omega_{2}=$ $=\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)-s$.

прерывных производных. Теорема устанавливает существование интегралов движения для многомерных нелинейных колебаний. Как признание важности работ указанных авторов ее принято называть теоремой КАМ. Ниже мы обсудим смысл теоремы, идею доказательства и значение условий ее применимости.

Проиллюстрируем трудности доказательства теоремы на примере двумерного отображения поворота (3.1.13). Последовательные пересечения возмущенной траектории с поверхностью $\theta_{2} \rightleftharpoons$ const (см. рис. 3.1,a) описываются разностными уравнениями, которые определяют новые значения переменных $J_{1}, \theta_{1}$ на поверхности сечения через их предыдущие значения. Предположим, что инвариантная кривая вида (3.2.1а) удовлетворяет уравнению
\[
J_{1}\left(\theta_{1}+2 \pi \alpha\right)=J_{1}\left(\theta_{1}\right)+v\left(\theta_{1}\right),
\]

где $v\left(\theta_{1}\right)$ — некоторая известная периодическая функция. Попробуем решить это уравнение путем разложения в ряд Фурье по $\theta_{1}$ :
\[
J_{1}\left(\theta_{1}\right)=\sum_{k} a_{k} e^{i k \theta_{1}} ; \quad v\left(\theta_{1}\right)=\sum_{k} b_{k} e^{i k \theta_{1}} .
\]

Тогда
\[
J_{1}\left(\theta_{1}-2 \pi \alpha\right)-J_{1}\left(\theta_{1}\right)=-\sum_{k} a_{k}[1-\exp (i k 2 \pi \alpha)] \exp \left(i k \theta_{1}\right),
\]

откуда
\[
a_{k}=-\frac{b_{k}}{1-\exp (i k 2 \pi \alpha)} .
\]

Коэффициенты $a_{k}$ убывают медленнее, чем $b_{k}$, а при рациональных $\alpha$ некоторые из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей, препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если $\alpha$ зависит от $J_{1}$, то величину $J_{1}$ нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания коэффициентов $b_{k}$. Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь возможность продолжать разложение.
Нелинейность ${ }^{1}$ ). Мы уже знаем, что при наличии резонанса между степенями свободы невозмущенной системы фазовые траектории
1) В оригинале — linear independence or sufficient nonlinearity (линейная независимость, или достаточная нелинейность). Термин «лннейная независимость частот» обычно связывается только с условием вида (3.2.2), которое может выполняться и для линейного осциллятора с постоянными частотами. Поэтому в переводе используется в этом случае термин «нелинейность (колебаний)», понимаемый в сиысле условия (3.2.10), приведенного ниже.- Прим. ред.

существенно искажаются под действием возмущения. Если невозмущенные частоты зависят от переменных действия, то изменения последних выводят систему из резонанса и тем самым ограничивают эти изменения. Если максимальные колебания $J$ много меньше невозмущенного значения $J_{0}$, то возможно существование инвариантных кривых, расположенных «вблизи» невозмущенных $J=J_{0}$. В этом и состоит смысл условия нелинейности невозмущенных колебаний. Это условие гарантирует, что в выражении (3.2.1а) $v(\xi, \varepsilon) \rightarrow 0$ при $\varepsilon \rightarrow 0$.

Чтобы полнее изучить этот вопрос, найдем условие линейной зависимости частот. Для простоты рассмотрим систему с двумя степенями свободы и предположим, что частоты $\omega_{1}\left(J_{1}, J_{2}\right)$ и $\omega_{2}\left(J_{1}, J_{2}\right)$ связаны соотношением
\[
f\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right)=0 .
\]

Дифференцируя, получаем
\[
\begin{array}{l}
d f=\frac{\partial f}{\partial \omega_{1}}\left(\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} d J_{1}+\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{2}} d J_{2}\right)+ \\
+\frac{\partial f}{\partial \omega_{2}}\left(-\frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{1}} d J_{1}+\frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{2}} d J_{2}\right)=0
\end{array}
\]

для любых $d J_{1}$ и $d J_{2}$. Это уравнение удобно записать в матричном виде
\[
\omega_{J} \cdot f_{\omega}=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{1}} \\
\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{2}} & \frac{\partial \omega_{2}}{\partial J_{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial \omega_{1}} \\
\frac{\partial f}{\partial \omega_{2}}
\end{array}\right)=0 .
\]

Если det $\boldsymbol{\omega}_{J}
eq 0$, то единственное решение: $\boldsymbol{f}_{\omega}=0$. Это означает, что не существует справедливого для всех $J$ соотношения вида
\[
f=m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}=0 .
\]

Следовательно, необходимое условие нелинейности колебаний можно записать в виде ${ }^{1}$ )
\[
\operatorname{det} \boldsymbol{\omega}_{j}
eq 0 .
\]

Именно в такой форме его обычно и приводят.
Для некоторого заданного резонанса условие (3.2.10) можно ослабить, потребовав лишь, чтобы частота не оставалась постоянной ${ }^{2}$ ) вдоль направления фактического приращения J. Действи-
1) В теории КАМ это условие необходимо для компенсации сдвига частот из-за вөзмущения ( $\Delta \boldsymbol{\omega})$ путем изменения начальных условий ( $\Delta \boldsymbol{J}$ ), т. е. для разрешимости системы линейных уравнений $\Delta \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{J} \cdot \Delta \boldsymbol{J}$ относительно $\Delta$ J. — Прим. ред. ред.
2) Точнее, чтобы не сохранялось условие резонанса $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 .-$ Прим. ред.

тельно, рассмотрим систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом (2.4.1):
\[
H=H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)+\varepsilon \sum_{l, m} H_{l m}\left(J_{1}, J_{2}\right) e^{i\left(l \theta_{1}-m \theta_{2}\right)} .
\]

Выбирая резонанс с $l=r, m=s$ и $\omega_{2} / \omega_{1}=r / s$, подставляя в (3.2.8) с $\partial f / \partial \omega_{1}=r, \partial f / \partial \omega_{2}=-s$ и учитывая, что из уравнений Гамильтона $d J_{1} / d J_{2}=-r / s$, получаем условие на нелинейность в виде
\[
r^{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{1}^{2}}-2 r s \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{1} \partial J_{2}}+s^{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{2}^{2}}
eq 0 ;
\]

оно используется также при доказательстве теоремы КАМ. В случае произвольного числа степеней свободы аналогичный результат приведен в $\S 3.3$ работы [70]:
\[
m_{i} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{i} \partial J_{j}} m_{i}
eq 0 .
\]

Поучительно получить соотношение (3.2.12) с помощью резонансной теории возмущений (§2.4). Используя производящую функцию (2.4.5),
\[
F_{2}=\left(r \theta_{1}-s \theta_{2}\right) \tilde{J}_{1}+\theta_{2} \tilde{J}_{2},
\]

перейдем в гамильтониане (3.2.11) к новым переменным (2.4.6). Разлагая гамильтониан в окрестности резонансного значения переменной действия и усредняя по быстрой фазе, находим в низшем порядке по $\varepsilon$ :
\[
\Delta \widetilde{H}=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}} \frac{\left(\Delta \widetilde{J}_{1}\right)^{2}}{2}+2 \varepsilon H_{r s} \cos \tilde{\theta_{1}},
\]

где для простоты амплитуда $H_{r s}$ принята действительной. Если $\partial^{2} \tilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}$, то нелинейность появляется лишь в более высоком порядке, и ширина сепаратрисы не будет ограничена величиной порядка $\varepsilon^{1 / 2}$. Таким образом, мы получили условие на нелинейность, эквивалентное (3.2.12):
\[
G=\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}^{2}}
eq 0 .
\]

Это условие разделяет системы на невырожденные $\left(\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}
eq 0\right.$ ), или сильно нелинейные, и вырожденные ( $\left.\partial^{2} \widetilde{H}_{0} / \partial \widetilde{J}_{1}^{2}=0\right)$, или слабо нелинейные. Именно невырожденные системы удовлетворяют условиям теоремы КАМ. Покажем эквивалентность условий (3.2.16) и (3.2.12). Представляя (3.2.16) в виде
\[
\frac{\partial^{2} \widetilde{H}_{0}}{\partial \widetilde{J}_{1}^{2}}=\frac{\partial \partial}{\partial \widetilde{J}_{1}}\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{1}} \frac{\partial J_{1}}{\partial \widetilde{J}_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{2}} \frac{\partial J_{2}}{\partial \widetilde{J}_{1}}\right)
eq 0
\]

и учитывая, что $\partial J_{1} / \partial \widetilde{J}_{1}=r$, а $\partial J_{2} / \partial \widetilde{J}_{1}=-s$, получаем (3.2.12).

Величину необходимой нелинейности $G$ при заданном $\varepsilon$ можно оценить, потребовав, чтобы максимальное изменение переменной действия $\Delta J_{1}$ было много меньше невозмущенного значения $J_{0}$. Полная ширина сепаратрисы равна $\Delta J_{1}=r \Delta \widetilde{J}_{1}$. Используя (3.2.15), находим
\[
4 r\left(\frac{2 \varepsilon H_{r s}}{G}\right)^{1 / 2} \ll J_{0},
\]

или
\[
G \gg \frac{32 r^{2} \varepsilon H_{r s}}{J_{0}^{2}} .
\]

Вырождение, при котором не выполняется условие (3.2.10), встречается во многих системах, представляющих физический интерес. Возникает естественный вопрос: существуют ли инвариантные кривые для таких систем? Представляется, что обычно, хотя и не всегда, общая структура теории КАМ сохраняется и в этом случае ${ }^{1}$ ). Мы уже рассматривали два таких примера: задачу Хенона-Хейлеса (§1.4) и резонанс волна-частица (§ 2.4). Еще один пример — «эффекты встречи» в накопительных кольцах [404 [ 2). Во всех этих задачах не зависящая от фаз часть гамильтониана имеет вид
\[
H_{0}=\boldsymbol{\omega}_{0} \cdot \boldsymbol{J}+\varepsilon H_{10}(J),
\]

а нелинейность возникает из члена возмущения с $\boldsymbol{m}=0$. Хотя величина нелинейности $G$ порядка $\varepsilon$, условие на нелинейность (3.2.18) все еще может выполняться. Таким образом, инвариантные кривые могут существовать и для вырожденных систем. Если теперь рассмотреть резонансы второго и более высоких порядков, как это было сделано в $§ 2.4$, то соответствующие им гамильтонианы оказываются, как правило, невырожденными. Таким образом, структура фазового пространства вырожденных и невырожденных систем является, вообще говоря, сходной.

Отметим, что есть также особые случаи вырождения, когда инвариантные кривые не существуют. Интересным примером служит система, рассмотренная Лансфордом и Фордом [286], а также Контопулосом [89]. Следуя Контопулосу, запишем гамильтониан системы в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\omega_{1} I_{1}+\omega_{2} I_{2}+\omega_{3} I_{3}+\varepsilon\left[\alpha \cos \left(m_{1} \theta_{1}-m_{2} \theta_{2}+m_{3} \theta_{3}\right)+\right. \\
\left.+\beta \cos \left(n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+n_{3} \theta_{3}\right)\right],
\end{array}
\]

где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые нелинейные функции $I_{i}$, а $m_{i}, n_{i}$ — целые числа. Так как гамильтониан зависит только от двух линейных
1) Обобщение на вырожденные системы проведено Арнольдом и Мозером (см. [11], § 10 и [374], § 34).- Прим. ред.
2) См. также [207].- Прим. ред.

комбинаций фаз, то преобразование вида (2.4.5) оставляет лишь две новые фазы:
\[
\widetilde{H}=\tilde{\omega}_{1} \tilde{I}_{1}+\tilde{\omega}_{2} \tilde{I}_{2}+\tilde{\omega}_{3} \tilde{I}_{3}+\varepsilon\left[\alpha \cos \tilde{\theta}_{\mathbf{1}}+\beta \cos \tilde{\theta}_{2}\right],
\]

где $\tilde{\theta}_{1}=m_{1} \theta_{1}+m_{2} \theta_{2}+m_{3} \theta_{3}, \tilde{\theta}_{2}=n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+n_{3} \theta_{3}, \tilde{\omega}_{1}=$ $=m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}+m_{3} \omega_{3}$ и т. д. Поскольку гамильтониан не зависит от $\tilde{\theta}_{3}$, то $\tilde{I}_{3}$ — сохраняется, и задача приводится к двум степеням свободы. Однако если выбрать частоты так, что $\widetilde{\omega}_{1}=\widetilde{\omega}_{2}=0$, как это сделали Лансфорд и Форд, то гамильтониан приведенной системы принимает вид
\[
\tilde{H}=\varepsilon\left[\alpha \cos \tilde{\theta}_{\mathbf{2}}+\beta \cos \tilde{\theta}_{2}\right] .
\]

В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще не имеет малого параметра ${ }^{1}$ ), т. е. не близка к интегрируемой. В таком случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$. Это и было обнаружено Лансфордом и Фордом путем численного интегрирования уравнений движения ${ }^{2}$ ).
Условие на гладкость возмущенія. Необходимую гладкость возмущения (число его непрерывных производных) можно определить, исходя из представления о том, что инвариантные кривые существуют только вне всех резонансных областей. Если все фазовое пространство между двумя резонансами низшего порядка заполнено другими резонансами, разумно заключить, что инвариантные кривые здесь не существуют. Рассмотрим снова простейший случай двух степеней свободы с гамильтонианом (3.2.11). Будем считать, что невозмущенный гамильтониан $H_{0}$ зависит от $J_{2}$ линейно, и положим $\omega_{1} / \omega_{2}=s$. Тогда расстояние между целыми резонансами по частоте $\delta \omega_{1} \leftrightharpoons \omega_{2}=$ const и не зависит от $J_{1}$ и $J_{2}$ (см. рис. 3.2, б). Между этими целыми резонансами расположены дробные резонансы с отношением частот $\omega_{1} / \omega_{2}=s+p / q$, где $p, q$-целые числа и $p<q$. В (3.2.11) при $l=q$ это соответствует целым числам
\[
m(p, q)=p+s q \text {. }
\]

Используя выражение (2.4.31) для ширины сепаратрисы отдельного резонанса
\[
\Delta \widetilde{J}_{1}=4\left(\frac{2 \varepsilon H_{q m}}{G}\right)^{1 / 2},
\]
1) Поскольку характер ее движения вообще не зависит от величины $\varepsilon$, которая определяет лишь масштаб времени.- Прим. ред.
2) Принятое выше условие $\tilde{\omega}_{1}=\tilde{\sigma}_{2}=0$ означает наличие двух независимых резонансов в невозмущенной линей ной системе (3.2.20). Отсутствие таких резонансов и есть дополнительюе условие применимости теории КАМ к вырожденным системам (см. примечание редактора на с. 190).- Прим. ред.

а также соотношения $\Delta J_{1}=q \Delta \widetilde{J}_{1}$ и $G=q^{2} \partial^{2} H_{0} / \partial J_{1}^{2}=q^{2} \bar{G}$, получаем
\[
\Sigma \Delta J_{1}=4\left(\frac{2 \mathrm{E}}{\overline{\mathrm{G}}}\right)^{1 / 2} \sum_{p, q} H_{q m}^{1 / 2},
\]

где суммирование производится по всем вторичным резонансам. Поскольку
\[
\Delta \omega_{1}=\frac{\partial \omega_{1}}{\partial J_{1}} \Delta J_{1}=\bar{G} \Delta J_{1},
\]

то отношение суммарной ширины вторичных резонансов, заштрихованных на рис. 3.2 , в, к расстоянию между первичными резонансами равно
\[
\frac{\Sigma \Delta \omega_{1}}{\delta \omega_{1}}=\frac{4(2 \varepsilon \bar{G})^{1 / 2}}{\omega_{2}} \sum_{p, q} H_{q m}^{1 / 2} .
\]

Предположим теперь, что возмущение в гамильтониане имеет $S$ непрерывных производных. Так как величина $m$ пропорциональна $q$, то фурье-амплитуды убывают при больших $q$ по закону ${ }^{1}$ )
\[
H_{q m} \sim \frac{\Lambda_{0}}{q^{S+2}},
\]

где $\Lambda_{0}$ — некоторая постоянная. Подставляя эту оценку в $(3.2 .26$ и замечая, что
\[
\sum_{p} H_{q m}^{i_{1}^{\prime 2}} \sim q H_{q m}^{1 / 2}
\]

получаем
\[
\frac{\Sigma \Delta \omega_{1}}{\delta \omega_{1}} \sim \frac{4\left(2 \varepsilon \bar{G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2}}{\omega_{2}} \sum_{q=1}^{\infty} q^{-S: 2} .
\]

При $S>2$ эта сумма сходится к некоторому положительному числу $\sigma$. Таким образом, независимо от коэффициента перед суммой мы приходим к важному условию существования инвариантных торов:
\[
S>2 \text {. }
\]

Можно сравнить этот результат с условием применимости теоремы КАМ, записав соотношение (3.2.3) для случая двух степеней свободы в виде
\[
\left|\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}-\frac{r}{s}\right|>\gamma s^{-(\tau+1)} .
\]
1) В случае двух степеней свободы достаточно наложить условие на гладкость только по одной из фаз, так как зависимость от другой фазы можно исключить переходом к отображеник. Оценка для коэффициентов Фурье (3.2.27) справедлива при следующих дополнительных условиях (см., например, [548]): 1) $\left|H_{q m}\right|$ убывают монотонно с $\left.q ; 2\right)(S+1)$-я производная ограничена и имеет конечное число разрывов.- Прим. ред.

Левую часть этого неравенства можно рассматривать как относительную ширину одного из дробных резонансов, которая исключается неравенством (3.2.31). Просуммируем теперь по всем дробным резонансам, лежащим между двумя целыми резонансами, т. е. на единичном интервале отношения частот $\omega_{1} / \omega_{2}$, учитывая, что число возможных значений $r$ на этом интервале не превышает $s$. Суммарную величину исключаемого интервала $\mathscr{M}$ (по мере Лебега, см., например, [374]) можно найти, умножая (3.2.31) на $s$ и затем суммируя по $s$. Получаем
\[
\mathscr{M}>\gamma \sum_{s=1}^{\infty} s^{-\tau} \text {. }
\]

Сравнивая выражения (3.2.32) и (3.2.29), мы видим, что $\tau$ соответствует величина $S / 2$, а $\gamma \sim\left(\overline{\varepsilon G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2} / \omega_{2}$. Как и в (3.2.29), сумма в (3.2.32) сходится при $\tau>1$. Қак показал Мозер (см. [374 ]), этого хватает для существования инвариантных торов. Если учесть, что гамильтониан (3.2.11) является интегралом соответствующего отображения [см. (3.1.27)], то отсюда можно прийти к заключению, что для существования инвариантных кривых двумерных отображений достаточно двух непрерывных производных для самого отображения или трех производных для соответствующего гамильтониана. Мозер утверждает [310], что для доказательства существования инвариантных кривых достаточно потребовать ${ }^{1}$ ) $S>4$, и высказывает предположение, что это условие можно фактически ослабить до $S>3$. Приведенные в п. 3.4 б численные данные указывают на существование инвариантных кривых ${ }^{2}$ ) при $S \geqslant 2$, аналогичный результат был получен Чириковым [70]. Однако при $S=0$ это уже не так (п. 3.4б). С другой стороны, Тэкенс [402] построил пример, в котором нет инвариантных кривых и при $S=2$. Таким образом, как и Мозер [310], мы можем предположить, что условия $S>3$ всегда достаточно для существования инвариантных кривых ${ }^{3}$ ). Можно также думать, что в некоторых слу-
1) Здесь и ниже приведены значения $S$ для гамильтониана. Следует иметь в виду, что в общем случае параметр гладкости $S$ может быть и не целым числом, как это видно из фурье-представления возмущения (3.2.27). Прим. ред.
2) Этот вывод противоречит условию (3.2.30) и является спорным, в частности, в работах $[70,475]$ интерпретация аналогичных численных данных совсем иная (см. примечание редактора на с. 227). — Прим. ред.
3) При сравнении условия (3.2.30) с цитированными результатами математических работ следует иметь в виду, что в последних рассматриваются любые возмущения определенного класса непрерывности (по Гёльдеру) $C^{l}$, не ограниченные неявно принимаемыми в основном тексте дополнительными условиями (см. примечание редактора на с. 192). Если понимать $S$ как параметр убывания коэффициентов Фурье в (3.2.27), то утверждение Мозера соответствует $S>3$ и подтверждается последними результатами Германа и Рюссмана (см. [476]), а гипотеза Мозера $S>2$ опровергается контрпримерами Германа для любого $S<3$. — Прим. ред.

чаях инвариантные кривые могут существовать и при двух непрерывных производных возмущения в гамильтониане.

Расчеты, приводящие для двух степеней свободы к условию (3.2.30), были выполнены Чириковым [70] в общем виде для $N$ степеней свободы. Он получил следующее необходимое условие существования инвариантных торов ${ }^{1}$ ):
\[
S>2 N-2 .
\]

Для этого же случая Мозер [309] получил строгое достаточное условие
\[
S>2 N+2
\]

в предположении, что величина $\gamma$, стремящаяся к нулю вместе с $\varepsilon$, выбрана также достаточно малой. Отметим, что это более сильное требование, чем гипотеза Мозера $S>3$ для двумерных отображений ${ }^{2}$ ).
Достаточная иррациональность и умеренная нелинейность. Предполагая, что сумма в (3.2.29) сходится к некоторому $\sigma$, мы видим, что инвариантные кривые не существуют, если $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ лежит внутри одного из заштрихованных на рис. 3.2 , в интервалов ${ }^{3}$ ). Так как ширина этих интервалов пропорциональна ( $\varepsilon G)^{1 / 2}$ и убывает с ростом $q$, то необходимо, чтобы величина $\alpha$ лежала достаточно далеко от любого рационального значения $p / q$. При малых $\varepsilon$ это условие легко выполнимо, но с ростом $\varepsilon$ инвариантные кривые существуют лишь для таких иррациональных $\alpha$, которые наиболее плохо аппроксимируются рациональными числами. С этой точки зрения самым иррациональным числом является золотое сечение: $\alpha=(\sqrt{5}-1) / 2 \equiv \alpha_{g}$. Грин [165] дал очень точный критерий возникновения сильной стохастичности в предположении ${ }^{4}$ ), что инвариантная кривая с $\alpha=\alpha_{g}$ разрушается последней (с ростом $\varepsilon$ ). Мы опишем метод Грина и его результаты в гл. 4.

Положив левую часть (3.2.29) равной единице, получим условие малости возмущения $\varepsilon$ :
\[
4\left(2 \varepsilon \vec{G} \Lambda_{0}\right)^{1 / 2} \leqslant \frac{\omega_{2}}{\sigma},
\]
1) Обобщение этого результата на случай явной квазипериодической зависимости от времени дано в работе [477]. — Прим. ред.
2) Оценку Мозера (3.2.34) можно, по-видимому, улучшить, если учесть, что фактически гладкость по одной из $N$ фаз несущественна (см. примечание редактора на с. 192), т. е. $N \rightarrow N-1$. Считая, как и выше, $S$ параметром в (3.2.27) (см. примечание редактора на с. 193), получаем $S>2 N-1$. Оценка (3.2.33) при этом не изменится. — Прим. ред.
3) Правильнее сказать, что пока мы не уверены, существуют ли инвариантные кривые внутри этих интервалов. На самом деле размер областей, где они действительно разрушаются, много меньше (см. [70] и п. 4.2б). Прим. ред.
4) Обсуждение этой гипотезы см. в работе [76].- Прим. ред.

а также (при заданном е) некоторое ограничение на нелинейность сверху. Используя выражения (3.2.18) и (3.2.35), приходим к условию умеренной нелинейности
\[
\frac{32 \varepsilon \Lambda_{0}}{J_{0}^{2}}<\bar{G}<\frac{\omega_{2}^{2}}{32 \varepsilon \Lambda_{0} \sigma^{2}} .
\]

При этом в (3.2.18) мы положили $\left(r^{2} / q^{2}\right) H_{r s} \sim \Lambda_{0}$. Аналогичные оценки были получены Чириковым $[70]$.

При доказательстве теоремы КАМ [308] возмущение $\varepsilon$ приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов $q=2$ и $q=3$, Чириков [70] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для гранищы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4.