Взаимодействие двух резонансов, которое изменяет или разрушает интегралы движения, можно ввести в систему специально для получения желаемого эффекта, например для нагрева частиц. В электронном циклотронном резонансном нагреве (ЭЦРН) это достигается за счет резонанса между ларморовским вращением и электромагнитной волной. Один из методов расчета ЭЦРН в ловушке заключается в определении величины изменения энергии при однократном прохождении резонанса, причем предполагается отсутствие корреляций фазы между псследовательными прохождениями $[115,161,243]$. Такой подход правилен выше порога стохастичности и совершенно непригоден ниже его, как это описано в § 3.4. Сейдл [367] впервые показал, что слабое резонансное электрическое поле приводит к возникновению сверхадиабатических колебаний, а не к стохастическому нагреву. Переход от адиабатического движения к стохастическому с использованием метода Сейдла и общего критерия перекрытия резонансов изучался Некрасовым [315], Егером и др. [213], Либерманом и Лихтенбергом [275 ]. Недавно Бернштейн и Бэкстер [23] провели вычисление с учетом релятивистских эффектов. Численные исследования Спротта и Эд-
1) См. также работы $[71,517] .-$ Прим. ред.

мондса [390], а также эксперименты Уайеса и др. [435] и Бардета и др. [15] дали результаты, неплохо согласующиеся с теорией. Аналогичные расчеты перехода от сверхадиабатичности к стохастичности были выполнены также в случае взаимодействия частицы в ловушке с высокочастотным полем волн, возбуждаемых в самой плазме $[1,348,407]$.

Нелинейные взаимодействия описанных выше типов могут иметь место даже в однородном магнитном поле. Возникающая из-за конечной величины ларморовского радиуса нелинейность приводит к появлению многих гармоник в спектре движения. Мы уже рассматривали подобный пример в п. 2.4в. Отметим, что диапазон энергии частиц определяется гармониками, амплитуды которых достаточно велики. Детальное исследование ионного циклотронного нагрева содержится в работах $[220,221]$.

Недавние эксперименты [257] по нагреву плазмы с помощью двух волн разной частоты стимулировали теоретические разработки в этой области. Ховард и др. [202] и Ронлин [347] показали, что определяемый, согласно теории КАМ, порог нагрева по энергии можно повысить примерно вдвое, если использовать волны одинаковой мощности. С физической точки зрения это объясняется, повидимому, образованием большего числа резонансов, перекрытие которых возможно и при более высокой энергии. Было найдено, что максимальный эффект достигается, когда разность частот сравнима с частотой продольных колебаний частицы. Важность резонанса с продольным движением отмечалась уже в работе Смита и др. [384]. Другое объяснение эффективности нагрева двумя частотами было предложено Самеком и др. [360]. В случае одной частоты проходящие через резонанс частицы получают два быстро следующих один за другим «толчка», которые могут компенсировать друг друга. Введение второй частоты нарушает эту компенсацию и увеличивает достижимую энергию.

Во всех описанных выше случаях рассматривались не самосогласованные волны в плазме. Для экспериментов по ЭЦРН такое приближение, как правило, справедливо, если только плазменная частота меньше электронной циклотронной частоты, что обычно также имеет место. Однако для ионного циклотронного нагрева это уже не так, что существенно ограничивает теоретический анализ. Кроме того, обычно не учитывается сложное пространственное распределение высокочастотного поля.

Эти трудности указывают на одну из фундаментальных проблем теоретического подхода, в котором гамильтониан системы требуется знать заранее. Тем не менее был достигнут значительный прогресс в согласовании теории стохастического ионного циклотронного нагрева с экспериментами на токамаках [159].

Имеется ряд заслуживающих упоминания проблем, родственных проблеме резонансного нагрева плазмы. Мы уже видели в п. 2.5 в (подробнее см. работы $[51,52,312]$ ), что пространственно неоднородное высокочастотное поле (а также высокочастотное поле в пространственно неоднородном стационарном магнитном поле [52]) действует на частицу с некоторой средней силой. Это может быть использовано для высокочастотного удержания плазмы и снижения потерь частиц через магнитные пробки. Однако, как мы видели, движение частиц в этом случае не обязательно является адиабатическим. Лихтенберг и Берк, изучая этот вопрос, показали, что именно неадиабатичность определяет предел, который может быть достигнут при высокочастотном удержании [268]. Аналогичные вычисления были выполнены Хатори и Ватанабе [177] для ловушек со встречными пробками ${ }^{1}$ ). Хотя высокочастотное поле вряд ли можно использовать для удержания основной плазмы в термоядерных установках, оно может оказаться полезным для удержания и нагрева теплой плазмы, необходимой для стабилизации плазменных неустойчивостей. Задача о самосогласованном высокочастотном удержании рассматривалась также в работах [312, 425], но не в той области параметров, где существенны стохастические эффекты.