Случайные последовательности. В каком смысле поведение детерминированной динамической системы может оказаться случайным? Прежде всего значительные усилия были направлены на выяснение смысла самого понятия случайности [231, 338] (популярное изложение см. в работе [61 1) ${ }^{1}$ ). Интуитивно ясно, что случайная последовательность некоторых символов не должна подчиняться никакой закономерности. Можно придумать различные тесты, например на частоту появления определенных символов в последовательности, пар символов и т. д., которые должна выдерживать случайная последовательность. В том случае, если последовательность выдерживает все тесты, ее можно считать «случайной»2).

Современное определение случайности основывается на том, что информация, заключенная в случайной последовательности, не может быть «сжата», т. е. представлена в более компактной форме. Так, не существует правила вычисления случайной последовательности, которое было бы существенно короче, чем просто ее копирование. Эти идеи можно формализовать следующим образом. Определим вначале минимальную длину программы (число бит) $K_{C}$ вычисления $N$ бит последовательности $S_{N}$ на некоторой ЭВМ. Величина $K_{C}$ зависит от $Э$ ВМ, но ее можно представить в виде суммы
\[
K_{C}=K_{N}(S)+C_{C},
\]

где $C_{C} \geqslant 0$ зависит только от ЭВМ, но не от $S_{N}$, а сложность $K_{N}(S)$ зависит только от последовательности $S_{N}$. Ясно, что значение сложности заключено между некоторой постоянной (любая программа должна иметь хотя бы одну команду) и максимальным
\[
K_{N}^{\text {макс }}(S)=N,
\]

когда ЭВМ просто копирует заданную последовательность.
1) См. также сборник [495], обзор [492] и популярную статью [449].Прим. ред.
2) Такое определение случайности по Мартин-Лёфу [493] (см. также [492]) представляется слишком узким по крайней мере для теории динамических систем, поскольку оно включает в себя максимальные статистические свойства, в частности полную независимость (бернуллиевость). Критику такого определения случайности см. в работе [500].- Прим. ред.

Можно показать, что последовательности с максимальной сложностью действительно существуют ${ }^{1}$ ). Рассмотрим теперь некоторый вычислимый тест на случайность. Тогда можно доказать следующую теорему: последовательность выдерживает все вычислимые тесты на случайность тогда и только тогда, когда она имеет положительную сложность ${ }^{2}$ ), т. е.
\[
K(S) \equiv \lim _{N \rightarrow \infty}\left(K_{N}(S) / N\right)>0 .
\]

Сопоставим каждой последовательности точку на отрезке $[0,1]$. Тогда меру множества последовательностей можно определить как меру соответствующих действительных чисел ${ }^{3}$ ). Можно доказать, что по этой мере почти все последовательности случайны, т. е. множество неслучайных последовательностей имеет меру нуль $\left.{ }^{4}\right)$.

Посмотрим теперь, как случайная последовательность возникает из детерминированного уравнения. Возьмем, например, следующее одномерное отображение на отрезке $[0,1]$ :
\[
x_{n+1}=10 x_{n}, \quad \bmod 1
\]

с начальным условием
\[
0 \leqslant x_{0}<1 .
\]

Разделим «фазовое пространство» $0 \leqslant x_{0}<1$ на десять ячеек с номерами $a_{i}=0,1,2, \ldots, 9$. Тогда, например, для начального условия $x_{0}=0,157643 \ldots$ отображение (5.2.32) генерирует последовательность
\[
\left\{a_{i}\right\}=1,5,7,6,4,3 \ldots
\]

Является ли она случайной? Ответ зависит от того, случайно ли начальное условие $x_{0}$. Из упомянутой выше теоремы следует, что почти все $x_{0}$ случайны, а значит, и рассматриваемая последовательность почти наверняка случайна. Оказывается, что движение вблизи гомоклинных точек в стохєстическом слое случайно, а регулярное движение на инвариантных поверхностях не является случайным ${ }^{5}$ ).
1) И даже составляют большинство из всех последовательностей данной длины [231].- Прим. ред.
2) Это не теорема, а другое возможное (и более приемлемое для теории динамических систем) определение случайности (см. примечание редактора на с. 306). Впервые такое определение в эквивалентной форме было предложено Алексеевым (см. [501], с. 75, определение А и обзор [448]). – Прим. ред.
3) То есть просто как длину на отрезке, или более формально, как меру Лебега.- Прим. ред.
4) Подчеркнем, что возможность случайных траекторий в классической механике связана, таким образом, с нелрерывностью фазового пространства. Заметим, что в квантовой механике и при численном моделировании это уже не так (см. ниже и [77]).- Прим. ред.
5) Подобные заключения можно получить из теоремы Алексеева Брудно (см. [448, 494]), согласно которой упомянутая выше удельная сложность равна ҚС-энтропии: $K(S)=h$. Прим. ред.

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос: в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим «шумом» соответствует реальной динамике системы? Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ${ }^{1}$ ).

С другой стороны, конечная точность счета кардинально меняет некоторые свойства движения. Даже для регулярной траектории ошибка в начальных условиях растет, вообще говоря, линейно со временем, а для хаотических траекторий она растет экспоненциально быстро. Если мантхсса чисел на ЭВМ имеет $N$ двоичных разрядов, то начальные условия полностью забываются через $n_{m} \sim 2^{N}$ итераций для регулярной траектории и всего через $n_{m} \sim N$ итераций для хаотической траектории. В обоих случаях система окажется далеко от своего начального положения, если после $n_{m}$ итераций в одну сторону по времени сделать столько же итераций в обратную сторону.

Более серьезная теоретическая проблема заключается в том, что при этом смазывается четкое различие между хаотическими и регулярными траекториями. Например, в случае двумерного гамильтонова отображения имеется конечное число состояний системы $M=2^{2 N}$, и после $n \leqslant M$ итераций система обязательно вернется в одно из предыдущих состояний. В результате все траектории такой системы оказываются периодическими. Это остается справедливым и для диссипативных систем. В каком смысле можно считать движение такой системы случайным?

Этот вопрос исследовался Ренно [341], которая использовала целочисленное отображение ${ }^{2}$ )
1) Структурная устойчивость здесь не помогает, поскольку ошибки округления не удовлетворяют требуемой гладкости возмущения (см. ниже по тексту).- Прим. ред.
2) Следует подчеркнуть, что это отображение моделирует прежде всего типичный эффект «экспериментальной установки» (ЭВМ), который отсутст-

\[
\begin{array}{c}
a_{i+1}=a_{i}+b_{i}+\left[\frac{m}{2 \pi}\left(1-\cos \frac{2 \pi}{m} b_{i}\right)\right], \bmod m, \\
b_{i+1}=b_{i}-\left[\frac{K m}{2 \pi}\left(\sin \frac{2 \pi}{m} a_{i+1} \div 1-\cos \frac{2 \pi}{m} a_{i+1}\right)\right], \bmod m,
\end{array}
\]

где $[X]$ – целая часть $X, K$ – параметр «стохастичности», а $a$ и $b$ – целые числа в интервале
\[
-m / 2 \leqslant a, \quad b \leqslant m / 2 .
\]

Это – взаимно-однозначное отображение $M=m^{2}$ точек плоскости ( $a, b$ ) на себя. Оно не содержит округления или каких-либо других численных ошибок ${ }^{1}$ ). Для $m$, кратного 4 , и $K<4$ отображение имеет две неподвижные точки: $(0,0)$ и ( $m / 4,0)$. Первая устойчива при малых $K$, вторая неустойчива. Для $K=1,3$ и $m=$ $=400$ имеются 48 относительно коротких периодических траекторий, заполняющих некоторую кольцевую область вокруг неподвижной устойчивой точки $(0,0)$. Кроме того, имеются 9 очень длинных траекторий, которые довольно однородно покрывают бо́льшую часть фазового квадрата и соответствуют, по-видимому, «хаотическому» движению. Для $K=10$ имеются только 12 (длинных) траекторий, представляющие «хаотическое» движение.

Ренно определила «случайность» периодических траекторий следующим образом. Имеется всєго $M$ ! взаимно-однозначных отображений $M$ точек на себя. Приписав одинаковую вероятность $1 / M$ ! каждому из этих отображений, получим «случайное» отображение ${ }^{2}$ ). Такое отображение обладает следующими статистическими свойствами:
1. Вероятность траектории длины $n$, выходящей из данной точки $(a, b)$, равна $1 / M$ и не зависит от $n$.
2. Средняя длина траектории равна $(M+1) / 2$.
3. Среднее число всех траекторий приблизительно равно $\ln M+\gamma$, где $\gamma=0,577 \ldots$ – постоянная Эйлера.
Численное моделирование отображения (5.2.33) при $K=1,3$ и $K=10$ с $300: \leqslant m \leqslant 800$ подтвердило эти свойства «случайного»

вует в исходной динамической системе классической механики. Поэтому вводимые ниже понятия стохастичности и случайности для отображения (5.2.33) являются не более чем имитацией, которую нужно четко отличать от настоящей случайности в непрерывном фазовом пространстве. Любопытно отметить, что целочисленные отображения качественно моделируют некоторые квантовые эффекты (см. [77]).- Прим. ред.
1) Точнее «ошибки» округления (ззятие целой части) явно включены в отображение.- Прим. ред.
2) В таком определении скрыта следующая эргодическая гипотеза: статистика траекторий для данного (типичного) отображения [например, (5.2.33)] приблизительно совпадает со статистикой всех $M$ ! отображений.- Прим. ред.

отображения. Эти результаты служат подтверждением того, что хаотическое движение, наблюдаемое в гамильтоновых системах, является следствием их динамики, а не конечной точности счета. Последняя приводит, напротив, к периодичности движения. Численные эксперименты, в которых точность счета изменялась, также подтверждают этот вывод.