Численный алгоритм. Схематически методика вычислений Грина [164-166] сводится к следующему.
1. Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это может представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.1б) ияи же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона-Хейлеса.
2. Находим точное положение эллиптических неподвижных точек $(k=1)$ по возможности аналитически.
3. Численно находим зависимость $\alpha$ от расстояния до неподвижной точки вдоль линии симметрии. Для иррациональных $\alpha$ это делается путем усреднения за большое число итераций отображения, а для рациональных чисел $\alpha=r / s-$ за $s$ итераций.
4. Выбираем последовательнссть подходящих дробей $\alpha_{n}=$ $=r_{n} / s_{n}$, сходящуюся к некоторому иррациональному числу $\alpha$, которое соответствует исследуемой инвариантной кривой. Если мы интересуемся переходом к глобальной стохастичности, то в некоторых системах, как, например, стандартное отображение, в качестве $\alpha$ выбираем золотое сечение ( $\alpha=\alpha_{g}$ ).
5. Находим линеаризованное отображение А вблизи периодических точек с $\alpha_{n}=r_{n} / s_{n}$ :
\[
\boldsymbol{x}_{s_{n}}-\boldsymbol{x}_{n}=\mathrm{A} \cdot\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}_{s_{n}}$ – значение $\boldsymbol{x}$ после $s_{n}$ итераций отображения, а $\boldsymbol{x}_{n}$ – положение исследуемой периодической точки. Матрица А находится обычно численно с помощью соотношений, приведенных в п. 3.3б.
Численные результаты. На рис. 4.4 показаны численные результаты Грина для четырех траекторий стандартного отображения с $K=0,97$. Это значение $K$, по всей видимости, лишь немногим ниже критического значения, разрушающего последнюю инвариантную кривую. Вследствие симметрии фактически существуют две такие инвариантные кривые, которые расположены по обе стороны от полуцелого резонанса. Видно также, что траектория вблизи сепаратрисы целого резонанса медленно диффундирует. Вследствие конечного числа итераций неясно, существуют ли и другие инвариантные кривые, ограничивающие эту диффузию. Однако при $K=0,9716$ наблюдается совершенно иная картина для инвариантной кривой с $\alpha=\alpha_{g}$, а при $K=0,975$ эта кривая уже, несомненно, разрушена, поскольку траектории диффундируют в этом месте фазовой плоскости, хотя и очень медленно.

Грин вычислил значения $f$ для подходящих дробей золотого сечения при $K=0,9716$ и $K=0,9$. Для сравнения эти результаты сведены в табл. 4.1, из котсрой ясно виден переход от значений $f<1$ при $K=0,9$ к асимптотическому значению $f \approx 1$ при $K=0,9716$. Обратим также внимание на резкое изменение асимптотического значения $R$ (для больших $s$ ) от ничтожно малого в устойчивом случае до $R=0,25$ на границе стохастичности.
a) $R=2,5 \cdot 10^{-9}$.
Наглядную картину разрушения инвариантной кривой с $\alpha=\alpha_{g}$ можно получить, откладывая периодические точки для последовательных пар подходящих дробей. На рис. 4.8 сравниваются два случая: $K=0,95$, для которого $f\left(\alpha_{g}\right) \approx 0,977$, и $K=0,9716$, для которого $f\left(\alpha_{g}\right) \approx 1,000$. Поскольку каждая последующая подходящая дробь соответствует увеличению числа периодических точек приблизительно в $1 / \alpha$ раз, а на каждом из рис. 4.8 используется пара подходящих дробей, ограничивающих значение $\alpha$ сверху и снизу, горизонтальный масштас последовательно растягивается в $(1 / \alpha)^{2}$ раз для сохранения числа точек в выбранной области. Для облегчения визуального анализа структуры периодических точек, которые ограничивают инвариантуую кривую с $\alpha=\alpha_{g}$, вертикальный масштаб на рис. 4.8 также растягивается в $(1 / \alpha)^{4}$ раз. Из рисунка видно, что при $K=0,95$ последовательные приближения периодических точек равномерно сходятся к инвариантной кривой. Напротив, при $K=0,9716$ периодические точки обнаруживают все новую и новую структуру на каждом последующем масштабе. Разумно заключить, что в этом случае инвариантная кривая не существует ${ }^{\mathbf{1}}$ ).

В заключение обсуждения метода Грина мы приводим на рис. 4.9 схематическую зависимость числа вращения $\tilde{\alpha}$ вблизи периодических точек от их периода $s$. Для $\tilde{\alpha}>1 / 2$ периодические точки не-

Рис. 4.8. Периодические точки, соответствующие последовательным парам подходящих дробей золотого сечения (по данным работы [165]).
а) $K=0,95$; б) $K=0,9716$.

устойчивы. При $K \ll 1 \tilde{\alpha}$ существенно меньше $1 / 6$ даже для $s=1$ (когда $\tilde{\alpha}=\alpha$ ) и экспоненциально убывает с увеличением $s$. Последнее сохраняется для любого $K<0,9716$. Если же $K=$ $=0,9716$, то, как следует из табл. 4.1, $\tilde{\alpha}=1 / 6(R=0,25)$ для всех достаточно больших $s$. В этом случае все периодические точки устойчивы, а отношение размера соответствующих им резонансов к расстоянию между последовательными резонансами ( $s_{n_{\sim}}$ и $s_{n+1}$ ) одинаково для всех $n \rightarrow \infty$. При $K>0,9716$ величина $\tilde{\alpha}$ растет и при достаточно большом $s$ периодические точки оказываются неустой-
1) Конечно, это не более чем наглядные соображения. В этом огношении данные табл. 4.1 более убедительнь: (см. также рис. 4.9).- Прим. ред.

чивыми. Таким образом, горизонтальная прямая $\tilde{\alpha}=1 / 6$ на рис. 4.9 соответствует как раз критическому значению $K$. Этот результат подтверждается исследованиями Эсканде и Довейла [117, 118], которые описаны в $\S 4.5$.

Рис. 4.9. Схематическая зависимость числа вращения $\tilde{\alpha}$ вблизи периодических точек от их периода $s$.

Другой подход к исследованню системы резонансов высоких гармоник связан с упорядочением соответствующих им периодических точек на границе устойчивости с помощью фрактальных диаграмм [364]. Основная идея состоит в разбиении всех периодических точек на последовательные поколения по значению числа вращения $\alpha$. Первые два поколения соответствуют ${ }^{1}$ )
\[
\alpha_{1}=\frac{1}{n} ; \quad \alpha_{2}=\frac{1}{n \pm \frac{1}{m}},
\]
1) Последовательные поколения дают разложение произвольного $\alpha=$ $=[n, m, \ldots]$ в непрерывную дробь, для которой $\alpha_{l}$ есть подходящие дроби.一Прим. ред.

где $n, m$ – любые целые (положительные и отрицательные) числа, кроме нуля. С увеличением $m$ периодические точки второго поколения приближаются к сепаратрисе одного из резонансов первого поколения. Если же $m=1$, то мы попадаем, очевидно, в первое поколение. На рис. 4.10 показана зависимость критического значения параметра $K\left(\alpha_{l}\right)$ (граница устойчивости) стандартного ото-

Рис. 4.10. Критические значения $K$ для устойчивости трех поколений периодических точек стандартного отображения (по данным работы [364]).
Видиа фрактальная структура функции $K(\alpha)$.

бражения для трех первых поколений периодических точек. За исключением $n=1$ (целый резонанс), значения $K\left(\alpha_{1}\right)$ для первого поколения (кружки на рисунке) ложатся на гладкую кривую, симметричную относительно $\alpha_{1}=1 / 2$. Зависимости $K(\alpha)$ для второго и третьего поколений имеют аналогичную форму, но на более мелких масштабах по $\alpha$. Подобная масштабная инвариантность характерна для фракталов (см. п. 7.1в).

Шмидт и Билек предположили, что максимальные значения $K\left(\alpha_{l}\right)$ в разных поколениях связаны соотношением
\[
\frac{K_{l}-K_{l+1}}{K_{l-1}-K_{l}}=\Delta_{l},
\]

где $\Delta_{l}$ для больших $l$ не зависит от $l$. Тогда из фрактальной диаграммы можно найти условия разрушения инвариантных кривых между любыми резонансами по относительно небольшому числу максимумов $K\left(\alpha_{l}\right)$ первых поколений. Соотношение (4.4.14) представляется правдоподобным по аналогии с последовательностью бифуркаций как в диссипативных, так и в гамильтоновых системах (см. П. 7.2 и дополнение Б). Шмидт и Билек сравнили предсказания существования нескольких инвариантных кривых на основе фрактальной диаграммы на рис. 4.10 с прямым численным моделированием и получили хорошее согласие.

В заключение вкратце обсудим применение описанного метода в других задачах. В простейшем виде этот метод бы.т использован еще Лансфордом и Фордом [286] в задаче Хенона и Хейлеса (см. п. 1.4а). Они исследовали отображение на поверхности сечения для полной энергии $E=1 / 12$ и $E=1 / 8$ (см. рис. 1.13 , б и в), используя линию симметрии $p_{y}=0$, проходящую через основной резонанс. Критерием устойчивости служило условие $f<1$, где средний вычет определяется как $f=|R|^{2 / Q}$. Система резонансов высоких гармоник и их периодических точек задавалась соотношением
\[
\alpha_{n}=\frac{1}{m \pm 1 / n}=\frac{r_{n}}{s_{n}},
\]

где целое $m$ – фиксированное число, а $n$ пробегает все целые положительные значения больше 1. Поскольку такой выбор $\alpha_{n}$ не дает сходимости к какому-либо иррациональному значению $\alpha$, величина $f$ изменялась в широких пределах, принимая максимальные значения вблизи целых резонансов, где $1 / \alpha_{n}$ – целое число. При исследовании области вблизи резонанса пятой гармоники ( $\alpha_{n}=$ $=1 / 5$ ) оказалось, что для $E=1 / 12$ величина $f$ падает ниже 1 . В противоположность этому для $E=1 / 8$ величина $f$ остается больше 1, что означает разрушение инвариантных кривых в этой области. Позднее Грин [166] установил, что разрушение инвариантных кривых вблизи этого резонанса происходит при $E=$ $=0,118<1 / 8$. Мы видим, что даже такие трудные для аналитического исследования задачи, как задачг Хенона-Хейлеса, все же поддаются решению описанным выше методом.