Рассмотрим гамильтониан следующего вида:
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(J, \theta)+\varepsilon^{2} H_{2}(J, \theta)+\ldots
\]

Здесь использованы переменные действие – угол для первого слагаемого $H_{0}$, поэтому ему отвечает решение
\[
\begin{aligned}
J & =J_{0}, \\
\theta & =\omega t+\beta, \\
\omega & =\partial H_{0} / \partial J,
\end{aligned}
\]

где $J_{0}, \omega, \beta$ – постоянные, не зависящие от $t$. Следуя Пуанкаре [337] и Цейпелю [419], мы ищем преобразование к таким новым переменным $\bar{J}, \bar{\theta}$, для которых новый гамильтониан $\bar{H}$ есть функция только переменной действия $\bar{J}$. Используя производящую функцию $S(\bar{J}, \theta)$, представим $S$ и $\bar{H}$ в виде степенных рядов по $\varepsilon$
\[
\begin{aligned}
S & =\bar{J} \theta+\varepsilon S_{1}+\ldots . \\
\bar{H} & =\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\ldots .
\end{aligned}
\]

причем член низшего порядка в $S$ выбран так, чтобы порождать тождественное преобразование $\vec{J}=J$ и $\bar{\theta}=\theta$. Старая переменная действия и новая угловая переменная определяются из выражений (1.2.13a) и (1.2.13б) соответственно
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \theta)}{\partial \theta}+\ldots . \\
\bar{\theta}=\theta+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \theta)}{\partial \bar{J}}+\ldots
\end{array}
\]

Для получения нового гамильтониана необходимо выразить старые переменные через новые с помощью соотношений (2.2.5) и затем использовать формулу (1.2.13в). В первом порядке по $\varepsilon$ это сделать нетрудно
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{\theta}}+\ldots, \\
\theta=\bar{\theta}-\varepsilon \frac{\partial S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta})}{\partial \bar{J}}+\ldots .
\end{array}
\]

Тогда из (1.2.13в) имеем
\[
\bar{H}(\bar{J}, \bar{\theta})=H(J(\bar{J}, \bar{\theta}), \theta(\bar{J}, \bar{\theta})) .
\]

Если возмущенный гамильтониан описывает автономную систему с несколькими степенями свободы или явно зависит от времени даже для одной степени свободы, то рассмотренные выше разложения оказываются расходящимися. Чтобы убедиться в этом, обобщим метод Пуанкаре–Цейпеля на случай автономного гамильтониана с $N$ степенями свободы. Явную зависимость от времени можно учесть с помощью дополнительной степени свободы в расширенном фазовом пространстве. Запишем
\[
H(J, \theta)=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\boldsymbol{J}$ и $\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{N}$-мерные векторы переменных действия и углов невозмущенной системы $H_{0}$, а $H_{1}$ – периодическая функция всех угловых переменных
\[
H_{1}=\sum_{m} H_{1 m}(\boldsymbol{J}) e^{i m \cdot \theta} .
\]

В последнем выражении использовано обозначение
\[
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\theta}=m_{1} \theta_{1}+m_{2} \theta_{2}+\ldots .+m_{N} \theta_{N},
\]

где $m_{i}$ – целые числа, по которым производится $N$-кратное суммирование в $(2.2 .27)$. Будем снова искать преобразование к таким переменным $\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}$, для которых новый гамильтониан $\bar{H}$ зависит только от $\bar{J}$. Введем производящую функцию
\[
S=\overline{\boldsymbol{J}} \cdot \boldsymbol{\theta}+\varepsilon \sum_{m} S_{1 \boldsymbol{m}}(\overline{\boldsymbol{J}}) e^{i \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\theta}},
\]

которая в нулевом порядке по $\varepsilon$ отвечает тождественному преобразованию, а в первом содержит $N$-кратную сумму, периодическую по $\boldsymbol{\theta}$. Как и в одномерном случае, выразим старые переменные через новые с помощью этой производящей функции и подставим их в (1.2.13в). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим в нулевом порядке
\[
\bar{H}_{0}(\overline{\boldsymbol{J}})=H_{0}(\overline{\boldsymbol{J}}),
\]

и в первом порядке
\[
\bar{H}_{\mathbf{1}}=\boldsymbol{\omega}(\overline{\boldsymbol{J}}) \cdot \frac{\partial S_{\mathbf{1}}(\bar{\jmath}, \overline{\boldsymbol{\theta}})}{\partial \overline{\boldsymbol{\theta}}}+H_{1}(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}) .
\]

Здесь вектор частот $\boldsymbol{\omega}$ невозмущенного движения определяется формулой
\[
\omega(\overline{\boldsymbol{J}})=\frac{\partial H_{0}(\bar{J})}{\partial \overline{\boldsymbol{J}}} .
\]

Усредняя по всем угловым переменным, имеем

и
\[
\bar{H}=H_{0}(\overline{\boldsymbol{J}})+\varepsilon\left\langle H_{1}(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}})\right\rangle
\]
\[
\boldsymbol{\omega} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{\theta}}}=-\left\{H_{\mathbf{1}}\right\} \text {. }
\]

Решение $S_{1}$ последнего уравнения можно получить путем интегрирования вдоль траекторий возмущенного движения. Действительно, так как в выражении
\[
\frac{d S_{1}}{d t}=\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{\theta}}} \cdot \frac{d \overline{\boldsymbol{\theta}}}{d t}+\frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{J}}} \cdot \frac{d \overline{\boldsymbol{J}}}{d t}
\]

в нулевом порядке первый и третий члены правой части равны нулю, то производная $d S_{1} / d t$ равна левой части (2.2.34) и можно написать
\[
S_{1}=-\int\left\{H_{1}(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}}(t))\right\} d t .
\]

Интегрируя ряд Фурье для $H_{1}$, окончательно получаем
\[
S(\overline{\boldsymbol{J}}, \overline{\boldsymbol{\theta}})=\overline{\boldsymbol{J}} \cdot \overline{\boldsymbol{\theta}}+\varepsilon i \sum_{\boldsymbol{m}
eq 0} \frac{H_{1 m}(\bar{J})}{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}(\bar{J})} e^{i \boldsymbol{m} \cdot \overline{\boldsymbol{\theta}}}+\cdots
\]

Мы сразу же сталкиваемся с проблемой малых знаменателей, так как для любого $\overline{\boldsymbol{J}}$ всегда найдется такое $\boldsymbol{m}$, что $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}(\overline{\boldsymbol{J}})$ окажется сколь угодно близко к нулю, и сходимость рядов явно нарушается. Подчеркнем еще раз, что это обстоятельство отражает в равной мере трудности как математического, так и физического характера. Оно возникает из-за фактического действия резонансов, которое, как будет показано в $\$ 2.4$, изменяет топологию фазовых траекторий. Несмотря на это, значительные усилия были потрачены на попытки по крайней мере «отодвинуть» секулярность в более высокие порядки разложения. В защту этих, казалось бы бесперспективных, методов заметим, что они дают решения, сходящиеся к истинным решениям в определенных областях фазового пространства для конечных, но больших интервалов времени. Более того, в некоторых случаях такие решения хорошо аппроксимируют движение в течение любого времени, если используется крупноструктурное разбиение фазового пространства ${ }^{1}$ ). Последний результат связан с фактической сходимостью (согласно теории КАМ) определенных решений для некоторых значений $\overline{\boldsymbol{J}}$. Қак мы увидим ниже, в случае двух степеней свободы эти решения жестко ограничивают резонансные траектории, которые вынуждены, таким образом, оставаться вблизи нерезонансных траекторий.
Явная зависимость от времени. Для системы с одной степенью свободы и явной зависимостью гамильтониана от времени мы получим в первом порядке по $\varepsilon$ некоторые соотношения, которые понадобятся нам в дальнейшем. Начнем с гамильтониана
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, t),
\]

в котором возмущение периодично по $\theta$ с периодом $2 \pi$ и по времени с периодом $2 \pi / \Omega$, а
\[
H_{1}=\sum_{l, m} H_{1 l m}(J) e^{i(l \theta+m \Omega t)} .
\]

Как и в п. 2.2а, выбираем производящую функцию $S$ в виде
\[
S=\bar{J} \theta+\varepsilon S_{1}(\bar{J}, \theta, t) .
\]

При этом переход от старых переменных к новым выполняется с помощью (2.2.6). Из-за явной зависимости $H_{1}$ от времени соотношение (2.2.7) изменяется:

Разложение по $\varepsilon$ дает
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}_{0}=H_{0}(\bar{J}), \\
\bar{H}_{\mathbf{1}}=\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+H_{\mathbf{1}} .
\end{array}
\]

Подбирая, как и прежде, $S_{1}$ таким образом, чтобы уничтожить переменную часть $H_{1}$, находим в первом порядке по $\varepsilon$
\[
\bar{H}=H_{0}+\varepsilon\left\langle H_{1}\right\rangle,
\]

где усреднение производится как по $\theta$, так и по $t$, а
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial t}+\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\} .
\]

Для нахождения $S_{1}$ произведем фурье-разложение
\[
S_{\mathbf{1}}=i \sum_{l, m
eq 0} \frac{H_{1 l m}(\bar{J})}{l \omega(\bar{J})+m \Omega} e^{i(l \bar{\theta}+m \Omega t)} .
\]
1) То есть при конечной точности описания.- Прим. ред.
4 Заказ № 141

Мы вновь сталкиваемся с малыми знаменателями, препятствующими сходимости рядов.

Классическая каноническая теория возмущений может быть весьма полезна при определении интегралов движения, если система находится достаточно далеко от первичных (т. е. проявляющихся в низшем порядке теории возмущений) резонансов. Для иллюстрации выберем функцию $H_{1}$, содержащую только одну гармонику по $\theta$ :
\[
H_{1}=U(J, t)+V(J, t) \cos \theta .
\]

Чтобы найти $S_{1}$ явно, представим $H_{1}$ и $S_{1}$ рядами Фурье
\[
\begin{aligned}
H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, t) & =\sum b_{l m}(\bar{J}) \cos (l \bar{\theta}-m \Omega t), \\
S_{\mathbf{1}}(\bar{J}, \bar{\theta}, t) & =\sum a_{l m}(\bar{J}) \sin (l \bar{\theta}-m \Omega t),
\end{aligned}
\]

где суммирование производится по всем $m$ для $l=0$ и $l=1$. Подставляя (2.2.49) в (2.2.45), определяем коэффициенты $a_{l m}$ при $l$, $m
eq 0$ :
\[
a_{l m}=\frac{b_{l m}}{m \Omega-l \omega(\bar{J})} .
\]

В области таких значений $\bar{J}$, при которых знаменатели не малы, функции $a_{l m}$ не имеют особенностей. В первом порядке по $\varepsilon$ новый гамильтониан, как и в одномерном случае, имеет, согласно (2.2.44), вид
\[
\bar{H}=H_{0}(\bar{J})+\varepsilon b_{00}(\bar{J}) .
\]

Новая переменная действия равна
\[
\bar{J}(J, \theta, t)=J-\varepsilon \frac{\partial S_{1}(J, \theta, t)}{\partial \theta} .
\]

Любая функция вида $I(\bar{J})$, так же как и $\bar{J}$, является интегралом движения. Ниже (п. 2.4г) мы используем этот факт для построения глобальных интегралов движения.

Взаимодействие частицы с волной. Проиллюстрируем методы и ограничения канонической теории возмущений в случае нескольких степеней свободы на практически интересном примере взаимодействия заряженной частицы с электростатической волной в однородном магнитном поле (рис. 2.3). Такая задача была рассмотрена Смитом и Кауфманом [385, 386] для случая волны, распространяющейся наклонно к магнитному полю, а для случая перпендикулярного распространения это сделали Карни и Берс [222], а также Фукуяма и др. [145].

Введем прежде всего переменные действие – угол для невозмущенной системы, гамильтониан которой имеет вид
\[
H_{0 p}=\frac{1}{2 M}\left[p-\frac{e}{c} \boldsymbol{A}\right]^{2} .
\]

Здесь $M$ – масса частицы, $e-$ еє заряд, $c$ – скорость света. Обозначая через $\check{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{y}, \check{\boldsymbol{z}}$ орты координатных осей, запишем векторный потенциал однородного магнитного поля $\boldsymbol{B}_{0}$ в виде
\[
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=-B_{0} y \check{\boldsymbol{x}}
\]

Импульс
\[
p=M v+\frac{e}{c} A
\]

канонически сопряжен радиусу-вектору частицы $\boldsymbol{x}=x \check{\boldsymbol{x}}+y \check{\boldsymbol{y}}+z \check{\boldsymbol{z}}$.
C помощью производящей функции
\[
F_{1}=M \Omega\left[\frac{1}{2}(y-Y)^{2} \operatorname{ctg} \varphi-x Y\right]
\]

и соотношений (1.2.11) переходим к новым дрейфовым переменным:
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} \varphi=\frac{v_{x}}{v_{y}}, \\
P_{\varphi}=\frac{M c}{e} \mu=\frac{1}{2} \frac{M v_{\perp}^{2}}{\Omega}= \\
=\frac{1}{2} M \Omega \rho^{2}, \quad(2.2 .2 .2 .2 \sin \varphi, \\
Y=y+\quad \\
X=x-\rho \cos \varphi,
\end{array}
\]

где
\[
\Omega=\frac{e B_{0}}{M c}
\]

Рис. 2.3. Траектория частицы в однородном магнитном поле $B_{0}$.
$\boldsymbol{k}-$ волновой вектор электростатической волны,
– ларморовская частота, $\mu$ – магнитный момент, $v_{\perp}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$,
$\rho=v_{\perp} / \Omega$ – ларморовский радиус, $X$ и $Y$ – дрейфовые координаты ларморовского центра, $P_{\varphi}$ и $\varphi$ – момент импульса и угловая координата. Новыми импульсами являются величины $P_{\varphi}, M \Omega X$ и $P_{z}$; им отвечают координаты $\varphi, Y$ и $z$ соответственно. Преобразованный гамильтониан имеет вид
\[
H_{0}^{\prime}=\frac{P_{z}^{2}}{2 M}+P_{\varphi} \Omega .
\]

Предположим, что возмущением является электростатическая волна с электрическим полем $\mathbf{E}=-
abla \Phi$, где
\[
\Phi=\Phi_{0} \sin \left(k_{z} z+k_{\perp} y-\omega t\right) .
\]

В дрейфовых переменных имеем
\[
H_{1}^{\prime}=e \Phi_{0} \sin \left(k_{z} z+k_{\perp} Y-k_{\perp} \rho \sin \varphi-\omega t\right),
\]

где
\[
\rho\left(P_{\varphi}\right)=\left(\frac{2 P_{\varphi}}{M \Omega}\right)^{1 / 2} .
\]

Так как возмущенный гамильтониан
\[
H^{\prime}=H_{0}^{\prime}+\varepsilon H_{1}^{\prime}
\]

не зависит от импульса $M \Omega X$, то $Y=$ const и, сдвинув $z$ или $t$ на постоянную величину, можно исключить постоянную фазу $k_{\perp} Y$ из (2.2.61). Нелинейность колебаний возникает благодаря зависимости фазы $k_{z} z-k_{\perp} \rho \sin \varphi-\omega t$ от $\sin \varphi$ и $\rho$. Поскольку гамильтониан зависит только от линейной комбинации $k_{z} z-\omega t$, то можно исключить зависимость от времени, перейдя в систему отсчета волны. Это осуществляется с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\left(k_{z} z-\omega t\right) P_{\psi}+P_{\varphi} \varphi .
\]

Используя соотношения (1.2.13), получим новые переменные $P_{\psi}$, $\psi$ и новый гамильтониан $H$ :
\[
\begin{array}{c}
P_{z}=\frac{\partial F_{2}}{\partial z}=k_{z} P_{\psi}, \\
\psi=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{\psi}}=k_{z} z-\omega t \\
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sin \left(\psi-k_{\perp} \rho \sin \varphi\right)=E=\text { const. }
\end{array}
\]
\[
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon e \Phi_{0} \sin \left(\psi-k_{\perp} \rho \sin \varphi\right)=E=\text { const. }
\]

Здесь, как и прежде, $\varepsilon$ – малое возмущение (в конце вычислений полагают, что $\varepsilon=1$ ). Резонансные гармоники возмущения можно выявить с помощью разложения в ряд по функциям Бесселя
\[
H=\frac{k_{z}^{2} P_{\psi}^{2}}{2 M}-P_{\psi} \omega+P_{\varphi} \Omega+\varepsilon \varrho \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

Мы уже видели, что необходимо оставаться достаточно далеко от первичных резонансов для того, чтобы амплитуды Фурье убывали быстрее резонансных знаменателей. В нашем случае убывание амплитуд Фурье определяется функциями Бесселя $\mathcal{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right)$. Невозмущенные частоты колебаний находятся из (2.2.67):
\[
\begin{array}{c}
\omega_{\varphi}=\frac{\partial H_{0}}{\partial P_{\varphi}}=\Omega, \\
\omega_{\psi}=\frac{\partial H_{0}}{\partial P_{\psi}}=\frac{k_{z}^{2}}{M} P_{\psi}-\omega=k_{z} v_{z}-\omega .
\end{array}
\]

Возмущение возбуждает только резонансы между основной частотой $\omega_{\psi}$ и гармониками частоты $\omega_{\varphi}$, поэтому условие резонанса имеет вид
\[
\omega_{\psi}-m \Omega=0 .
\]

Для $k_{z}=0$ из (2.2.68б) получаем
\[
\omega+m \Omega=0 .
\]

Для $k_{z}
eq 0$, разрешая (2.2.69), находим резонансные значения $P_{\psi}$ :
\[
P_{\psi}=\frac{M}{k_{z}^{2}}(\omega+m \Omega) .
\]

Мы исследуем эти резонансы с помощью резонансной теории возмущений в п. 2.4в.

Поскольку $P_{\psi}$ является переменной действия, то для косой волны резонансы (2.2.71) неизбежны. Рассмотрим поэтому перпендикулярную волну ( $k_{z} \equiv 0$ ) в предположении, что условие резонанса (2.2.70) не выполнено. В этом случае, как будет показано ниже, при достаточно малом возмущении первичные резонансы отсутствуют. Из (2.2.34) и (2.2.67) находим
\[
-\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \psi}+\Omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \varphi}=-e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \sin (\psi-m \varphi),
\]

где $\bar{\rho}=\rho\left(\bar{P}_{\varphi}\right)$. Решение этого уравнения имеет вид
\[
S_{1}=-e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \frac{\cos (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega} .
\]

С помощью последнего выражения можно связать старые переменные действия $P_{\psi}, P_{\varphi}$ с новыми:
\[
\begin{array}{c}
P_{\psi}=\bar{P}_{\psi}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \psi}= \\
=\bar{P}_{\psi}+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \bar{\rho}\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega} .
\end{array}
\]

Обращая, в первом порядке получаем
\[
\bar{P}_{\psi}=P_{\psi}-\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} \mathscr{F}_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega}=\text { const. }
\]

Подобным же образом находим
\[
\bar{P}_{\varphi}=P_{\varphi}+\varepsilon e \Phi_{0} \sum_{m} m g_{m}\left(k_{\perp} \rho\right) \frac{\sin (\psi-m \varphi)}{\omega+m \Omega}=\text { const, }
\]

причем $\rho\left(P_{\varnothing}\right)$ определяется выражением (2.2.62).

Используя соотношение (2.2.76) и фиксируя одну из фазовых переменных, можно получить графики зависимости $P_{\varphi}$ от другой фазовой переменной для различных значений инварианта $\bar{P}_{\varphi}$. Такие инвариантные кривые эквивалентны картине на поверхности

Рис. 2.4. Инвариантные кривые на позерхности сечения $\varphi=\pi$ для случая нерезонансного взаимодействия частицы с волной при $k_{z}=0$ и $\omega / \Omega=$ $=-30,11$ (теория) (по данным работы [219]).
$a$ – малая амплитуда волны, резонансы отсутствуют; 6 – большая амплитуда волны, видны резонансы.

сечения Пуанкаре. На рис. $2.4, a$ и $б$ показаны кривые зависимости $k_{\perp} \rho\left(P_{\varphi}\right)$ от $\psi$ при $\varphi=\pi$, полученные Карни [219]. Хотя $\psi$ и $k_{-} \rho$ не являются канонически сопряженными переменными, тем не менее основные черты фазового пространства системы представлены правильно. Для сравнения на рис. $2.5, a$ и б показаны фазовые тра-

Рис. 2.5. То же, что и на рис. 2.4 (численное моделирование) (по данным работы [219]).
Крестиками отмечены начальные условия.
ектории, полученные Карни численно. Так как для невозмущенной системы $\omega=-30,11 \Omega$ и при малой амплитуде возмущения все инвариантные кривые лежат достаточно далеко от первичного резонанса, то аналитические и численные результаты хорошо согласуются. С ростом возмущения частота колебаний изменяется и система может попасть в резонанс. Однако производящая функция первого порядка, имеющая полюсы на невозмущенных резонанcax, остается при этом конечной и воспроизводит грубые черты поведения системы вблизи резонанса. Резонансы высших порядков таким методом найти нельзя; для этого требуется провести вычисления во втором порядке резонансной теории возмущений ( $\S 2.4$ ). Области хаотического движения вообще не описываются рассматриваемой теорией возмущений, однако их размер можно оценить, как это будет показано в гл. 4.