Периодические точки. Рассмотрим периодические точки различных отображений для ускорения Ферми. Запишем упрощенное отображение в виде
\[
\begin{array}{l}
u_{j+1}=\left|u_{j}+f\left(\psi_{j}\right)\right|, \\
\psi_{j+1}=\psi_{j}+\frac{2 \pi M}{u_{i+1}} .
\end{array}
\]

Отметим несколько простых свойств этого отображения. Просуммировав уравнение (3.4.8a) по $k$ итерациям и принимая, что $u_{j}>f\left(\psi_{i}\right)$ при всех $j$, получим фазовое соотношение для любой группы периодических точек, лежащих на одной периодической траектории отображения
\[
\sum_{j=1}^{k} f\left(\psi_{j}\right)=0 .
\]

Взяв такую же сумму для уравнения (3.4.8б), получим «среднюю» скорость $\bar{u}_{k m}$ периодической точки периода $k$ :
\[
\bar{u}_{k m}=\frac{k M}{m},
\]
1) В работе [38] исследовалось несколько иное отображение, однако качественно сложная структура фазовой плоскости на рис. 3.14 характерна и для отображения (3.4.1).- Прим. ред.

где $m$-взаимно простое с $k$ целое число, а
\[
\bar{u}_{k m}^{-1}=k^{-1} \sum_{j=1}^{k} u_{i}^{-1} \text {. }
\]

Целое число $m$ нумерует периодические траектории с данным $k$. Разброс скорости каждой периодической точки $(k, m)$ лежит в пределах $\Delta u_{\text {макс }}=(k-1)|f|_{\text {макс }}$.

Как видно из рис. 3.12-3.14, периодические точки, окруженные большими областями устойчивости, расположены при $u \gg 1$, где величина $\varepsilon=|f|_{\text {макс }} / \bar{u}_{k m}$ мага. Они соответствуют первичным резонансам и сохраняются даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$. При $\varepsilon \equiv 0$ периодические точки $(k, m)$ имеют координаты: $\psi_{j}=\psi_{0}+2 \pi j m / k$; $u_{j}=k M / m ; j=1, \ldots, k ; \psi_{0}$ — любая величина. Значение $\psi_{0}$ становится, однако, определенным при малом, но конечном $\varepsilon$. Расположение неподвижных точек (периода $k=1$ ) для различных отображений приведено в табл. 3.1.

Линейная устойчивость. Теперь мы проведем подробный анализ устойчивости неподвижных точек, представленных в табл. 3.1. Начнем с отображения (3.4.4). Линеаризуя его в неподвижных точках $u_{1}=M / m ; \psi_{1}=1 / 2$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta u_{n+1}=\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}, \\
\Delta \psi_{n+1}=\Delta \psi_{n}-\frac{M}{u_{1}^{2}}\left(\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}\right) .
\end{array}
\]

Откуда для матрицы преобразования вектора $(\Delta u, \Delta \psi)$ имеем

При этом $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, как и должно быть в силу сохранения фазовой площади. Согласно (3.3.55), условие устойчивости имеет вид
\[
|\mathrm{Sp} \mathbf{A}|=\left|2-\frac{M}{u_{1}^{2}}\right|<2,
\]

или
\[
u_{1}>\frac{1}{2} M^{12} \text {. }
\]

При $u_{1}<\frac{1}{2} M^{1 / 2}$ величина $\mathrm{Sp} \mathrm{A}<-2$, что соответствует гиперболической точке с отражением. Именно такая неподвижная точка возникает, когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую на границе устойчивости. Физический смысл такого превращения можно пояснить, вычислив угол поворота $\sigma$ вокруг неподвижной точки, определяемый выражением (3.3.54):
\[
\cos \sigma=\frac{1}{2} \mathrm{SpA} \text {. }
\]

На границе устойчивости $\cos \sigma=-1$ и, следовательно, сдвиг фазы $\sigma=\pi$. Это явление хорошо известно и детально исследовано в самых разных областях, как, например, распространение волн в периодических структурах [42] или движение частиц в ускорителях [94].

В качестве примера превращения эллиптических точек в гиперболические с отражением рассмотрим отображение (3.4.6). Bсе неподвижные точки с $\psi_{1}=\pi$ (и разными $m$ и $u_{1}$ ) являются гиперболическими (без отражения), так как для них $\mathrm{SpA}=2+$ $+2 \pi m^{2} / M>2$ при любом $m
eq 0$. Для неподвижных точек с $\psi_{1}=0$ величина $\mathrm{Sp} \mathbf{A}=2-2 \pi \mathrm{m}^{2} / M$. Поэтому те из них, для которых $m<(2 M / \pi)^{1 / 2}$, или
\[
u_{1}>\left(\frac{\pi M}{2}\right)^{1 / 2},
\]

оказываются эллиптическими (устойчивыми), а остальные — гиперболическими с отражением. При меньших скоростях все неподвижные точки становятся гиперболическими (неустойчивыми), а движение в их окрестности — стохастическим ${ }^{1}$ ). Как видно из табл. 3.1, условия устойчивости для разных отображений отличаются только численным множителем. Можно показать [274], что для отображения (3.4.6) условие устойчивости периодических точек периода $k=2$ имеет вид $u_{2}>(\pi M)^{1 / 2}$, т. е. граница устойчивости по скорости лежит выше, чем для неподвижных точек $(k=1)$.

Анализ устойчивости периодических точек с $k=3,4,5, \ldots$ становится все более и более трудным. Однако в случае упрощен-
1) Это не совсем точно, см. рис. 3.18.— Прим. ред.

ного отображения Либерману и Лихтенбергу [274] удалось получить выражение для критерия устойчивости при больших $k$. Они показали, что граница устойчивости по скорости $u$ лежит тем выше, чем больше величина $k$. Поэтому самая нижняя граница устойчивости для неподвижных точек ( $k=1$ ) определяет некоторый важный для динамики переход. Соответствующую граничную скорость будем обозначать $u_{s}$. Ниже этой границы нет устойчивых областей

Рис. 3.15. Положение границы стохастичности $u_{b}$ (черные кружки) и границы устойчивости $u_{s}$ (светлые кружки) в зависимости от $M$ для отображения (3.4.6) (по численным данным раєоты [274]).

первичных резонансов. Поэтому стохастические траектории заполняют всю эту область фазовой плоскости, за исключением небольших островков устойчивости вторичного происхождения (см. п. 3.4г), которые появляются, вообще говоря, лишь в узких интервалах значений параметра $M$. Сравнение теоретической границы устойчивости $u_{s}$ с численными данными для отображения (3.4.6) в широком диапазоне значений $M$ проведено на рис. 3.15. Дана также граница стохастичности $u_{b}$, соответствующая первой снизу инвариантной кривой $\mathbf{1}$ ).
1) Как сейчас известно (см. [70], §5.1 и гл. 4 ниже), граница стохастичности $u_{b} \approx 2 u_{s}$ при $M \gg 1$, что не противоречит численным данным на рис. 3.15. По поводу отклонений при $M \sim 10$ см. [70, §6.2] и конец п. 4.26.Прим. ред.