Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Периодические точки. Рассмотрим периодические точки различных отображений для ускорения Ферми. Запишем упрощенное отображение в виде
\[
\begin{array}{l}
u_{j+1}=\left|u_{j}+f\left(\psi_{j}\right)\right|, \\
\psi_{j+1}=\psi_{j}+\frac{2 \pi M}{u_{i+1}} .
\end{array}
\]

Отметим несколько простых свойств этого отображения. Просуммировав уравнение (3.4.8a) по $k$ итерациям и принимая, что $u_{j}>f\left(\psi_{i}\right)$ при всех $j$, получим фазовое соотношение для любой группы периодических точек, лежащих на одной периодической траектории отображения
\[
\sum_{j=1}^{k} f\left(\psi_{j}\right)=0 .
\]

Взяв такую же сумму для уравнения (3.4.8б), получим «среднюю» скорость $\bar{u}_{k m}$ периодической точки периода $k$ :
\[
\bar{u}_{k m}=\frac{k M}{m},
\]
1) В работе [38] исследовалось несколько иное отображение, однако качественно сложная структура фазовой плоскости на рис. 3.14 характерна и для отображения (3.4.1).- Прим. ред.

где $m$-взаимно простое с $k$ целое число, а
\[
\bar{u}_{k m}^{-1}=k^{-1} \sum_{j=1}^{k} u_{i}^{-1} \text {. }
\]

Целое число $m$ нумерует периодические траектории с данным $k$. Разброс скорости каждой периодической точки $(k, m)$ лежит в пределах $\Delta u_{\text {макс }}=(k-1)|f|_{\text {макс }}$.

Как видно из рис. 3.12-3.14, периодические точки, окруженные большими областями устойчивости, расположены при $u \gg 1$, где величина $\varepsilon=|f|_{\text {макс }} / \bar{u}_{k m}$ мага. Они соответствуют первичным резонансам и сохраняются даже в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$. При $\varepsilon \equiv 0$ периодические точки $(k, m)$ имеют координаты: $\psi_{j}=\psi_{0}+2 \pi j m / k$; $u_{j}=k M / m ; j=1, \ldots, k ; \psi_{0}$ – любая величина. Значение $\psi_{0}$ становится, однако, определенным при малом, но конечном $\varepsilon$. Расположение неподвижных точек (периода $k=1$ ) для различных отображений приведено в табл. 3.1.

Линейная устойчивость. Теперь мы проведем подробный анализ устойчивости неподвижных точек, представленных в табл. 3.1. Начнем с отображения (3.4.4). Линеаризуя его в неподвижных точках $u_{1}=M / m ; \psi_{1}=1 / 2$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta u_{n+1}=\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}, \\
\Delta \psi_{n+1}=\Delta \psi_{n}-\frac{M}{u_{1}^{2}}\left(\Delta u_{n}+\Delta \psi_{n}\right) .
\end{array}
\]

Откуда для матрицы преобразования вектора $(\Delta u, \Delta \psi)$ имеем

При этом $\operatorname{det} \mathbf{A}=1$, как и должно быть в силу сохранения фазовой площади. Согласно (3.3.55), условие устойчивости имеет вид
\[
|\mathrm{Sp} \mathbf{A}|=\left|2-\frac{M}{u_{1}^{2}}\right|<2,
\]

или
\[
u_{1}>\frac{1}{2} M^{12} \text {. }
\]

При $u_{1}<\frac{1}{2} M^{1 / 2}$ величина $\mathrm{Sp} \mathrm{A}<-2$, что соответствует гиперболической точке с отражением. Именно такая неподвижная точка возникает, когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую на границе устойчивости. Физический смысл такого превращения можно пояснить, вычислив угол поворота $\sigma$ вокруг неподвижной точки, определяемый выражением (3.3.54):
\[
\cos \sigma=\frac{1}{2} \mathrm{SpA} \text {. }
\]

На границе устойчивости $\cos \sigma=-1$ и, следовательно, сдвиг фазы $\sigma=\pi$. Это явление хорошо известно и детально исследовано в самых разных областях, как, например, распространение волн в периодических структурах [42] или движение частиц в ускорителях [94].

В качестве примера превращения эллиптических точек в гиперболические с отражением рассмотрим отображение (3.4.6). Bсе неподвижные точки с $\psi_{1}=\pi$ (и разными $m$ и $u_{1}$ ) являются гиперболическими (без отражения), так как для них $\mathrm{SpA}=2+$ $+2 \pi m^{2} / M>2$ при любом $m
eq 0$. Для неподвижных точек с $\psi_{1}=0$ величина $\mathrm{Sp} \mathbf{A}=2-2 \pi \mathrm{m}^{2} / M$. Поэтому те из них, для которых $m<(2 M / \pi)^{1 / 2}$, или
\[
u_{1}>\left(\frac{\pi M}{2}\right)^{1 / 2},
\]

оказываются эллиптическими (устойчивыми), а остальные – гиперболическими с отражением. При меньших скоростях все неподвижные точки становятся гиперболическими (неустойчивыми), а движение в их окрестности – стохастическим ${ }^{1}$ ). Как видно из табл. 3.1, условия устойчивости для разных отображений отличаются только численным множителем. Можно показать [274], что для отображения (3.4.6) условие устойчивости периодических точек периода $k=2$ имеет вид $u_{2}>(\pi M)^{1 / 2}$, т. е. граница устойчивости по скорости лежит выше, чем для неподвижных точек $(k=1)$.

Анализ устойчивости периодических точек с $k=3,4,5, \ldots$ становится все более и более трудным. Однако в случае упрощен-
1) Это не совсем точно, см. рис. 3.18.– Прим. ред.

ного отображения Либерману и Лихтенбергу [274] удалось получить выражение для критерия устойчивости при больших $k$. Они показали, что граница устойчивости по скорости $u$ лежит тем выше, чем больше величина $k$. Поэтому самая нижняя граница устойчивости для неподвижных точек ( $k=1$ ) определяет некоторый важный для динамики переход. Соответствующую граничную скорость будем обозначать $u_{s}$. Ниже этой границы нет устойчивых областей

Рис. 3.15. Положение границы стохастичности $u_{b}$ (черные кружки) и границы устойчивости $u_{s}$ (светлые кружки) в зависимости от $M$ для отображения (3.4.6) (по численным данным раєоты [274]).

первичных резонансов. Поэтому стохастические траектории заполняют всю эту область фазовой плоскости, за исключением небольших островков устойчивости вторичного происхождения (см. п. 3.4г), которые появляются, вообще говоря, лишь в узких интервалах значений параметра $M$. Сравнение теоретической границы устойчивости $u_{s}$ с численными данными для отображения (3.4.6) в широком диапазоне значений $M$ проведено на рис. 3.15. Дана также граница стохастичности $u_{b}$, соответствующая первой снизу инвариантной кривой $\mathbf{1}$ ).
1) Как сейчас известно (см. [70], §5.1 и гл. 4 ниже), граница стохастичности $u_{b} \approx 2 u_{s}$ при $M \gg 1$, что не противоречит численным данным на рис. 3.15. По поводу отклонений при $M \sim 10$ см. [70, §6.2] и конец п. 4.26.Прим. ред.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru