Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

До сих пор при анализе диффузии Арнольда учитывались только три резонанса. Пока возмущение не слишком мало, полученные аналитические оценки хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Однако для достаточно малого возмущения

Рис. 6.11. Зависимость приведенной скорости диффузии Арнольда $D^{*}$ от $Q_{0}$ (по данным работы [72]).
Точки – численное моделирование; пунктирная линия – теория в приближении трех резонансов.

теория значительно занижает скорость диффузии, поскольку в этом случае существенно взаимодействие многих резонансов. Такой режим диффузии называется областью Нехорошева по имени советского математика, впервые получившего строгую верхнюю границу для скорости диффузии Арнольда [314]. Однако его оценка существенно завышает, вообще говоря, порядок действительной скорости диффузии.

Взаимодействие многих резонансов исследовалось аналитически [70] и численно [72] для модели (6.2.24) с силой
\[
f(t)=\frac{\cos v t}{1-C \cos v t} \approx \sum_{m} \frac{2 e^{-\sigma m}}{\sigma} \cos m v t,
\]

где $\sigma \approx\left(1-C^{2}\right)^{1 / 2} \ll 1$. Чтобы выделить наиболее важную экспоненциальную зависимость, вычис.яялась приведенная [по (6.2.44)] скорость диффузии $D^{*}$, согласно формуле ${ }^{1}$ ),
\[
D=\frac{\pi^{2} x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1} \ln \left(32 e / w_{1}\right)} D^{*} .
\]

Зависимость $\lg D^{*}$ от $Q_{0}$ в широком диапазоне показана на рис. 6.11 для $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$ и $\sigma=0,1$. Аналитическая зависимость (6.2.44) (пунктирная кривая) для трех резонансов $\left(\omega_{x}=4 v, \omega_{x}=5 v\right.$, $\omega_{x}=\omega_{y}$ ) хорошо согласуется с численными данными при малых $Q_{0}$, однако очень сильно занижает скорость диффузии для больших $Q_{0}$.

Это расхождение можно объяснить влиянием резонансов высоких гармоник $m v=k \omega_{x}$, в частности, за счет следующих членов разложения (6.2.31). Хотя их амплитуды малы, они расположены близко к резонансам $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$, т. е. для них расстройка $\delta \omega=m v-k \omega_{x}$ тоже мала и эффективное $Q_{0} \sim 1$.
Приняв зависимость $D^{*}\left(Q_{0}\right)$ в виде
\[
D^{*}=A \exp \left(-B Q_{0}^{\gamma}\right),
\]

где $A, B$ и $\gamma$ – подгоночные параметры, Чириков и др. [72] получили из численных данных значение $\gamma \approx 1 / 2$, т. е. $-\lg D \propto \mu^{-1 / 4}$. Верхняя оценка Нехорошева [314] приводит к существенно меньшей величине $\gamma$ (см. [70]). Для гамильтониана общего вида с $N$ степенями свободы
\[
H(I, \theta)=H_{0}(\boldsymbol{I})+\mu H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\mu$ – малый параметр, а функция $H_{0}(I)$ при $|I| \rightarrow 0$ является положительно определенной квадратичной формой ${ }^{2}$ ), оценку Нехорошева можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
|\overline{\boldsymbol{I}}| \leqslant|\boldsymbol{\omega}| \cdot|\boldsymbol{I}| \mu^{l+q} \exp \left(-1 / \boldsymbol{\mu}^{q}\right), \\
q(N)=\frac{2}{3 N^{\circ}-N+8} .
\end{array}
\]

Так как $Q_{0} \propto 1 / \omega_{1} \propto \mu^{-1 / 2}$, то $\gamma=2 q$. Полагая в (6.2.47б) $N=3$, находим $\gamma=1 / 8$. Это приводит х слишком медленному уменьшению скорости диффузии с $\mu$ и не согласуется с численными результатами на рис. 6.11. По мнению Чирикова [70], более правильная оценка соответствует ${ }^{3}$ ) $q=1 / N$. При $N=3$ это приводит к значению $\gamma=2 / 3$, которое находится в разумном согласии с численными результатами.
1) В работе [72] использовалась несколько другая нормировка $D^{*}$. Прим. ред.
$\left.{ }^{2}\right)$ Менее жесткое, но тоже достаточное условие состоит в том, чтобы энергетические поверхности $H_{0}(I)=$ const были всюду выпуклыми (см. [512]). Примером может служить гамильтониан (6.2.29).- Прим. ред.
3) Упрощенный вывод этого соотношения см. в работе [69].- Прим. ред.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru