До сих пор при анализе диффузии Арнольда учитывались только три резонанса. Пока возмущение не слишком мало, полученные аналитические оценки хорошо согласуются с результатами численного моделирования. Однако для достаточно малого возмущения

Рис. 6.11. Зависимость приведенной скорости диффузии Арнольда $D^{*}$ от $Q_{0}$ (по данным работы [72]).
Точки — численное моделирование; пунктирная линия — теория в приближении трех резонансов.

теория значительно занижает скорость диффузии, поскольку в этом случае существенно взаимодействие многих резонансов. Такой режим диффузии называется областью Нехорошева по имени советского математика, впервые получившего строгую верхнюю границу для скорости диффузии Арнольда [314]. Однако его оценка существенно завышает, вообще говоря, порядок действительной скорости диффузии.

Взаимодействие многих резонансов исследовалось аналитически [70] и численно [72] для модели (6.2.24) с силой
\[
f(t)=\frac{\cos v t}{1-C \cos v t} \approx \sum_{m} \frac{2 e^{-\sigma m}}{\sigma} \cos m v t,
\]

где $\sigma \approx\left(1-C^{2}\right)^{1 / 2} \ll 1$. Чтобы выделить наиболее важную экспоненциальную зависимость, вычис.яялась приведенная [по (6.2.44)] скорость диффузии $D^{*}$, согласно формуле ${ }^{1}$ ),
\[
D=\frac{\pi^{2} x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1} \ln \left(32 e / w_{1}\right)} D^{*} .
\]

Зависимость $\lg D^{*}$ от $Q_{0}$ в широком диапазоне показана на рис. 6.11 для $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$ и $\sigma=0,1$. Аналитическая зависимость (6.2.44) (пунктирная кривая) для трех резонансов $\left(\omega_{x}=4 v, \omega_{x}=5 v\right.$, $\omega_{x}=\omega_{y}$ ) хорошо согласуется с численными данными при малых $Q_{0}$, однако очень сильно занижает скорость диффузии для больших $Q_{0}$.

Это расхождение можно объяснить влиянием резонансов высоких гармоник $m v=k \omega_{x}$, в частности, за счет следующих членов разложения (6.2.31). Хотя их амплитуды малы, они расположены близко к резонансам $\omega_{x}=\omega_{y}=4,5 v$, т. е. для них расстройка $\delta \omega=m v-k \omega_{x}$ тоже мала и эффективное $Q_{0} \sim 1$.
Приняв зависимость $D^{*}\left(Q_{0}\right)$ в виде
\[
D^{*}=A \exp \left(-B Q_{0}^{\gamma}\right),
\]

где $A, B$ и $\gamma$ — подгоночные параметры, Чириков и др. [72] получили из численных данных значение $\gamma \approx 1 / 2$, т. е. $-\lg D \propto \mu^{-1 / 4}$. Верхняя оценка Нехорошева [314] приводит к существенно меньшей величине $\gamma$ (см. [70]). Для гамильтониана общего вида с $N$ степенями свободы
\[
H(I, \theta)=H_{0}(\boldsymbol{I})+\mu H(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}),
\]

где $\mu$ — малый параметр, а функция $H_{0}(I)$ при $|I| \rightarrow 0$ является положительно определенной квадратичной формой ${ }^{2}$ ), оценку Нехорошева можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
|\overline{\boldsymbol{I}}| \leqslant|\boldsymbol{\omega}| \cdot|\boldsymbol{I}| \mu^{l+q} \exp \left(-1 / \boldsymbol{\mu}^{q}\right), \\
q(N)=\frac{2}{3 N^{\circ}-N+8} .
\end{array}
\]

Так как $Q_{0} \propto 1 / \omega_{1} \propto \mu^{-1 / 2}$, то $\gamma=2 q$. Полагая в (6.2.47б) $N=3$, находим $\gamma=1 / 8$. Это приводит х слишком медленному уменьшению скорости диффузии с $\mu$ и не согласуется с численными результатами на рис. 6.11. По мнению Чирикова [70], более правильная оценка соответствует ${ }^{3}$ ) $q=1 / N$. При $N=3$ это приводит к значению $\gamma=2 / 3$, которое находится в разумном согласии с численными результатами.
1) В работе [72] использовалась несколько другая нормировка $D^{*}$. Прим. ред.
$\left.{ }^{2}\right)$ Менее жесткое, но тоже достаточное условие состоит в том, чтобы энергетические поверхности $H_{0}(I)=$ const были всюду выпуклыми (см. [512]). Примером может служить гамильтониан (6.2.29).- Прим. ред.
3) Упрощенный вывод этого соотношения см. в работе [69].- Прим. ред.