Грубо говоря, странный аттрактор-это такой аттрактор, на котором близкие траектории расходятся экспоненциально. В качестве примера представим себе трехмерный поток в виде слоя из бесконечного числа двумерных листов. Слой растягивается вдоль одного из направлений и складывается, как показано на рис. $1.18,a$. При этом края слоя ( $AB$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }$ ) гладко соединены между собой. Так как на краю $A^{\prime }{B}^{\prime }$ имеются два отдельных листа, а на краю $AB$ только один, то для гладкости их соединения необходимо бесконечное число листов. В противном случае возникли бы разрывы, ведущие к необратимости потока. Эскиз окончательной структуры такого аттрактора представлен на рис. 1.18, .

Из схемы аттрактора видно, что, несмотря на экспоненциальную расходимость, траектории ограничены ${}^2$ ). Далее, оказывается, что
1) Термин «хаотический» обычно используется для описания случайного движения в диссипативных системах, тогда как термин «стохастический» чаще относится к гамильтоновым системам. Хотя мы и пытались придерживаться такого соглашения, не следует думать, что эти два термина соответствуют различной «степени случайности»; по существу мы рассматриваем их как синонимы.
2) Проблема согласования расходимости близких траекторий на аттракторе с его ограниченностью возникает только при минимальной размерности аттрактора, равной двум (имеется в виду обычная, целая размерность, ср. п. 7.1в). При бо́льшей размерности расходимость в линейном приближении сменяется перемешиванием траекторий; хаотический аттрактор может иметь при этом простую форму, например, тора.- Прим. ред.

Рис. 1.18. Схематическое изображение странного аттрактора (по данным работы [368]).
a — слой из бесконечного числа листов растягивается и складывается; 6 -вид аттрактора после соединения каждого листа по линии $AB$ с соседним по линии $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

структура аттрактора повторяется на все более и более мелких пространственных масштабах. Такая масштабная инвариантность, характерная также и для структуры резонансов в гамильтоновых системах, служит основой анализа динамики как гамильтоновых, так и диссипативных систем. Подобная многослойная структура, которую можно описать математически как некоторое канторово множество, рассматривается в $\mathrm{\S }7.1$.

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели ХенонаХейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому ға странном аттракторе. Во многих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отсбражению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в $\mathrm{\$}7.2$.

Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного примера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттракторамодель Лоренца [283]. В § 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В § 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах.