В принципе периодические точки отображения периода $k$ можно находить непосредственно из условия, что после $k$-й итерации
\[
T^{k} x_{0}=\boldsymbol{x}_{0} \text {. }
\]

Однако при больших $k$ эти вычисления становятся слишком трудоемкими. Вместо этого можно исходить и прямо из гамильтониана. Уравнения, которые надо при этом решать, соответствуют периодическим траекториям и их можно записать на поверхности сечения в виде
\[
\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=0,
\]

где вектор $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$. В общем случае решение этих уравнений можно найти лишь в форме рядов [116].

После того как периодические точки отображения найдены, можно исследовать их устойчивость в линейном приближении. Это делается следующим образом. Полагая $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{0}+\Delta \boldsymbol{x}$ и сохраняя только линейные по $\Delta \boldsymbol{x}$ члены, получаем уравнение вида
\[
\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}=\mathbf{A} \cdot \Delta \boldsymbol{x}_{n},
\]

где $\mathbf{A}$ – матрица, не зависящая от $\Delta \boldsymbol{x}$.
В предыдущием параграфе было показано, что малые возмущения интегрируемой системы приводят к возникновению последовательности чередующихся эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) точек. Об этом говорят, в частности, численные данные, приведенные в п. 3.2г. Однако в случае больших возмущений топологические соображения ${ }^{1}$ ) уже неприменимы и в принципе все периодические точки могут быть неустойчивыми. В случае неинтегрируемых гамильтоновых систем линейная устойчивость является, по-видимому, необходимым и достаточным условием для нелинейной устойчивости ${ }^{2}$ ) в том смысле, что первая гарантирует существование инвариантных торов достаточно близко к периодической траектории ${ }^{3}$ ).