Рассмотрим автономную систему с двумя степенями свободы, близкую к интегрируемой, т. е. систему с гамильтонианом вида
\[
H\left(J_{1}, J_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right)=H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)+\varepsilon H_{1}\left(J_{1}, J_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right),
\]

где $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$ – переменные действие – угол невозмущенного движе-
1) Это утверждение спорно, см. примечание на с. 409.- Прим. ред.

ния, а $\varepsilon$ – малый параметр возмущения. Функция $H_{0}$ зависит только от переменных действия, а зависимость $H_{1}$ от углов $\boldsymbol{\theta}$ является периодической.

Типичный характер движения в таких системах сейчас вполне понятен. Траектории лежат на трехмерной поверхности $H=$ const в четырехмерном фазовом пространстве. При этом, согласно теории КАМ (гл. 3), регулярные траектории заполняют конечную долю фазового пространства. Остальные траектории характеризуются стохастическим, или хаотическим, поведением. Стохастические и регулярные траектории очень сложно переплетены друг с другом, причем стохастическая траектория подходит сколь угодно близко к каждой точке фазового пространства ${ }^{1}$ ), подобно тому как любое иррациональное число может быть сколь угодно точно аппроксимировано рациональными числами.
Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в § 1.2.

Различные типы регулярных траекторий и их пересечения с поверхностью $\sum_{R}\left(\theta_{1}=\right.$ const для системы с двумя степенями свободы представлены на рис. 1.10. Случай $a$ соответствует типичной траектории, покрывающей поверхность тора. Движение вокруг главной оси тора периодично по $\theta_{1}$ с периодом $2 \pi$. При этом последовательные пересечения поверхности $\sum_{R}$ при $\theta_{2}=\theta_{21}, \theta_{22}, \theta_{23} \ldots$ ложатся на замкнутую инвариантную кривую и плотно покрывают ее за большой промежуток времєни. Случай б соответствует резонансу
\[
k \omega_{1}(J)+i \omega_{2}(J)=0,
\]

где $\omega_{1}=\dot{\theta}_{1}, \omega_{2}=\dot{\theta}_{2}, k$ и $l$ – целые числа. Резонансная траектория замкнута. При $k=5, l=2$ она пересекает поверхность $\sum_{R}$ в пяти точках, которые называются неподвижными, или периоди-
1) В общем случае это справедливо лишь в пределах одной хаотической компоненты движения, которая для системы вида (1.4.1) может охватывать максимум всю энергетическую поверхность.- Прим. ред.

Рис. 1.10. Поверхность сечения $\sum_{R}\left(\theta_{1}=\right.$ const для автономной системы с двумя степенями свободы.
$a$ – инвариантная кривая (крестики – постедовательные пересечения траектории с поверхностью $\Sigma_{R}$ ); 6 – периодическая траектория в центре первичного резонанса $k=5$, $l=2$ (показаны первые семь пересечений); $\varepsilon$ – инвариантные кривые вокруг периодических точек ( $k=5, l=2$ ); 2 – пернодическая траек’тория вторичного резонанса (период 3) внутри первичного резонанса (6) (показаны первые 17 пересечений); $\partial$ – стохастическая область, ограниченная инвариантными кривыми и охватывающая несколько первичных резонансов; $e$ – стохастический слой в окрестности сепаратрисы первичного резонанса $k=5, l=2$.

ческими, точками движения. Поскольку при таком движении траектория невозмущенного гамильтониана замкнута и периодична, то мы называем такой резонанс первичным. Резонанс б-специальный случай инвариантной кривой, когда число вращения $k / t$ рационально. Резонансы и их взаимодействие играют важную роль в возникновении стохастического движения в системах, близких к интегрируемым.

Случай 8 соответствует типичной траектории в окрестности первичного резонанса (рис. 1.10,б). Пересечения траектории с поверхностью $\sum_{R}$ образуют пять гладких замкнутых кривых (первичных островов), окружающих неподвижные точки (случай б). Наконец, случай г иллюстрирует еще более сложное движение: замкнутую периодическую траекторию, которая за 15 оборотов по $\theta_{1}$ три раза обходит первичный резонанс $k=5 ; l=2$; Этот случай представляет пример вторичного резонанса между колебаниями на первичном резонансе и невозмущенным движением. Вторичные резонансы возникают под действием возмущения $H_{1}$ и в свйю очередь окружены резонансами еще более высокого порядка.

Теперь ясно, насколько сложна структура регулярных траекторий. Первичные резонансы приводят к возникновению вторичных резонансов и так до бесконечности. Расчет регулярных траекторий (инвариантных кривых и резонансов) рассматривается в гл. 2 и 3.

Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой, заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что изображены в случае $a$. В этой области существуют также и регулярные траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие неподвижные точки (см. § 3.3), либо обходятся стохастической траекторией, либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае $e$ показан стохастический слой вблизи островков случая $\varepsilon$, заполненный одной стохастической траекторией.

Стохастическое движение всегда возникает возле сепаратрис, которые разделяют инвариантные кривые различной топологии. Действительно, вблизи сепаратрисы частота колебаний $\omega$ стремится к нулю, см. (1.3.15). Поэтому условие резонанса с частотой невозмущенных колебаний $\omega_{0}$ :
\[
k \omega-\omega_{0}=0
\]

приводит к тому, что при приближении к сепаратрисе расстояние по переменной действия между соседними резонансами ( $k$ и $k+1$ ) также стремится к нулю. Область стохастичности вблизи сепаратрисы будем называть стохастическим слоем ${ }^{1}$ ). В системах с двумя степенями свободы при малом возмущении $\varepsilon$ эти слои оказываются очень тонкими и отделены друг ог друга инвариантными кривыми, ввиду чего переход траектории из одного слоя в другой невозможен. С увеличением $\varepsilon$ инвариантные кривые, разделяющие соседние резонансы и их стохастические слои, сильно искажаются и в конце концов разрушаются. В результате происходит слияние стохастических слоев и возникает глобальная, или сильная, стохастичность. Условие такого перехода рассмотрено в гл. 4, а характер хаотического движения – в гл. 5.

Некоторое указание на причину возникновения стохастичности вблизи сепаратрисы можно получить из картины перекрытия резонансов, которое приводит к чрезвычайно запутанному движению, в особенности с учетом резонансов высоких порядков. $\mathrm{K}$ такому же заключению можно прийти и с другой точки зрения, рассмотрев траекторию самой сепаратрисы. Қак из теоретического анализа, так и из численных экспериментов следует, что с учетом возмущения сепаратриса не является уже такой гладкой кривой, как в интегрируемой системе (рис. 1.4), а напротив, также оказывается чрезвычайно сложной. Движение вблизи сепаратрисы подробно обсуждается в п. 3.2б. При достаточно малом возмущении инвариантные поверхности ограничивают область стохастического движения (см. 3.2a), однако с увеличением возмущения резонансы более высоких порядков отодвигают инвариантные поверхности от сепаратрисы и тем самым расширяют область сложного движения.

Мы видели, что вблизи резонанса фазовые траектории сильно возмущены. Тем не менее внутри резонанса существуют замкнутые периодические траектории (неподвижные точки на рис. $1.10,6$ и 2). Устойчивость линеаризованного вблизи них движения также связана, со стохастичностью. Линейная устойчивость решений в окрестности периодической траектории приводит к регулярному движению, которое может быть разрушено слабым нелинейным возмущением только за большой промежуток времени. Неустойчивые решения приводят к экспоненциальной расходимости траекторий, скорость которой можно принять за меру стохастичности (см. гл. 5). Можно ожидать, что в тсй области фазового пространства, где все или почти все периодические решения линейно неустойчивы, движение будет хаотическим.
Модель Хенона–Хейлеса. Рассмотрим в качестве иллюстрации хорошо известный пример движения в двумерном потенциале
\[
U(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+2 x^{2} y-\frac{2}{3} y^{3}\right),
\]
1) В оригинале – resonance layer (резонансный слой). В переводе используется более распространенный в отечественной и зарубежной литературе термин стохастический слой. – Прим. перев.

показанном на рис. 1.11. Впервые эта модель исследовалась численно Хеноном и Хейлесом [188] в качестве простого примера нелинейной системы с несколькими (двумя) степенями .свободы. В дальнейшем эта система детально изучалась многими авторами. K сожалению, в этом примере встречаются некоторые трудности,
Рис. 1.11. Замкнутые эквипотенциальные кривые $(U=$ $=$ const $<1 / 6$ ) для модели Хенона-Хейлеса (1.4.4) (по данным работы [291]).

которые не являются типичными для нелинейных систем и требуют особого подхода. Тем не менее этот численный пример хорошо иллюстрирует интересующие нас вопросы. Ход потенциала в декартовых координатах $x, y$ показан на рис. 1.11. Гамильтониан частицы в таком потенциале можно записать в виде $H=H_{0}+\varepsilon H_{1}=E$, rде
\[
\begin{array}{c}
H_{0}=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), \\
\varepsilon H_{1}=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3} .
\end{array}
\]

Для удобства масса частицы принята равной единице, а малый параметр $\varepsilon$ определяется выбором энергии: $\varepsilon \sim E^{1 / 2}$. Если $E$ меньше граничной потенциальной энергии $U=1 / 6$, то частица будет удерживаться внутри потенциальной ямы. Существование инвариантных кривых в этом случае можно определить по картине на поверхности сечения ( $y, p_{y}$ ). В пределе малых колебаний гамильтониан можно записать в переменных действие – угол в виде (см. п. 1.2в):
\[
H_{0}=\omega_{1} J_{1}+\omega_{2} J_{2} \text {. }
\]

В данном случае частоты колебаний $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ равны единице. Если учесть теперь слабое возмущение (1.4.5б), то полный гамильтониан примет вид
\[
H=\omega_{1} J_{1}+\omega_{2} J_{2}+\varepsilon H_{1}\left(J_{1}, J_{2}, \theta_{1}, \theta_{2}\right) .
\]

При достаточно малой энергии траектории на поверхности сечения оказываются замкнутыми кривыми почти для всех начальных условий, за исключением очень близких к резонансным. Эти кривые можно найти либо численно, решая уравнения движения, либо путем вычисления интеграла движения по теории возмущений с учетом членов достаточно высокого порядка по $\varepsilon$ (см. гл. 2). Если в разложении взять мало членов, то замкнутые кривые еще будут получены, но они не будут похожи на численные. С другой стороны, если в разложении взять слишком много членов, то ответ будет отличаться от правильного решения, так как ряд асимптотический. Мак-Намара и Уайтмен [291] вычислили $J_{2}$ с точностью до второго и третьего порядков по $\varepsilon$ для начальной энергии $E=0,01$ и различных начальных условий. Их результаты показаны на рис. $1.12, a$ и б. Видно, что в данном примере члены высокого порядка оказываются офень существенными и даже изменяют характер движения. Так, наблюдаемые в численном эксперименте (рис. 1.12, в) траектории, замкнутые вокруг точек $A$ и $B$, появляются лишь в четвертом порядке теории возмущеннй. Необходимость использовать высокие порядки теории возмущений возникает далеко не во всех системах, близких к интегрируемым. В данном случае это является следствием двух особенностей модели Хенона-Хейлеса: 1) невозмущенные колебания линейны и 2) частоты этих колебаний совпадают. Сравним численные результаты Хенона и Хейлеса с теорией возмущений Густавсона [171] восьмого порядка (рис. 1.13). Для энергий $E=0,042(1 / 24)$ и $E=0,083(1 / 12)$ возникает впечатление, что инвариантные кривые существуют везде, а ряд теории возмущений сходится к правильному пределу. Однако ни то ни другое, строго говоря, не является верным, поскольку наряду с инвариантными кривыми имеются очень тонкие стохастические слои, распределенные по всей поверхности сечения и связанные с резонансами между двумя степенями свободы. Толщина этих слоев экспоненциально мала по параметру $E^{-1}$. Поэтому для малых значений $E$ слои занимают ничтожную часть полной площади поверхности сечения и неразличимы на картинках, получаемых
численных экспериментах.
Для более высокой начальной энергии $E=0,125$ наблюдается три типа траекторий: простая инвариантная кривая как и при низкой энергии; многопетлевая траектория, например представляющая цепочку из пяти маленьких островов, подобная изображенной на рис. $1.10,6$, для которой пересечения «перескакивают» от одной петли к другой, и, по-видимому, эргодическая траектория (аналогичная изображенной на рис. 1.10, e) с пересечениями в случайных точках. Для последней траектории переменные действия не только не являются интегралами движения, но и не могут быть получены из разложений теории возмущения. С другой стороны, даже для граничной энергии ( $E=1 / 6$ ) интегралы сохраняются в малых изолированных областях фазовой плоскости. Присутствие таких островов устойчивости означает существование интеграла движения вблизи первичного резонанса, связанного с частотами невозмущенных колебаний по $x$ и $y$. Методы вычисления таких интегралов, а также разме-
Рис. 1.12. Инвариантные кривые на поверхности сечения модели Хенона-Хейлеса; $E=0,01$ (по данным работы [291]).
а – во втором порядке (по $\varepsilon$ ); 6 в третьем порядке; в – численное моделирование.

Рис. 1.13. Сравнение аналитической (слева) и найденной численно (справа) структуры поверхности сечения моделн Хенона-Хейлеса (по данным работы [171]).

ров островков устойчивости приведены в $\S 2.4$ вместе с подробными примерами.

Хотя существует несомненнсе соответствие между расчетами устойчивых областей по теории возмущений и результатами численного моделирования, это еще не означает, что устойчивость сохраняется в любой момент времени, как это предсказывает теория возмущений, поскольку слабые резонансы высокого порядка могут разрушить эту устойчивость. Однако на помощь приходит теория ҚАМ, которая гарантирует, что, во всяком случае, для достаточно малого возмущения инвариантные кривые существуют и близки к невозмущенным. Это дает основание предположить, что те кривые, которые выглядят гладкими и устойчивыми, наверное, близки к хорошим инвариантным кривым, хотя, возможно, и имеют какую-то невидимую структуру. Опираясь на это предположение, мы развиваем эвристический критерий разрушения интегралов движения, связанный с критерием перекрытия сяседних резонансов, который был предложен Чириковым [67]. Сравнивая эти критерии с численными экспериментами, можно получить достаточно надежные количественные оценки разрушения интегралов движения. Эти вычисления – основная тема гл. 4.
Ускорение Ферми. Қак уже было отмечено в § 1.2, существует тесная связь между гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. Преобразование, задающее последовательные пересечения траектории с некоторой поверхностью, является именно таким отображением. И обратно, динамическую систему, заданную отображением, можно описать и гамильтонианом, который получается разложением отображения в ряд Фурье ${ }^{\mathbf{1}}$ ).

Рассмотрим пример динамической системы, которую можно описать сохраняющим площадь отображением; он иллюстрирует характер стохастических траекторий в системах с двумя степенями свободы. Отображение описывает движение шарика между неподвижной и колеблющейся стенками. Этот пример Улама [415] моделирует механизм ускорения космических лучей, предложенный Ферми [126].Обозначим через $u_{n}$ скорость шарика (в единицах удвоенной амплитуды скорости стенки), перед его $n$-м столкновением с колеблющейся стенкой, а через $\psi_{i}$ – фазу колебаний стенки в момент столкновения. Тогда отображение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{2 \pi M}{u_{n+1}},
\end{array}
\]
1) Имеется в виду фурье-разложение по времени, см. п. 3.1в.- Прим. ред.

где $M$ – некоторое приведенное расстояние между стенками, а скорость шарика $u_{n}$ берется по абсолютной величине.

Динамика такого отображения может быть прослежена на многие тысячи итераций, что позволяет получить детальное представ-

Рис. 1.14. Поверхность сечения для задачи Ферми (по данным работы [274]). Показано заполнение фазовой плоскости одной траекторией за 623000 итераций. Пунк. тирные крнвые рассчитаны по резонансной теорин возмущений.

ление о поведении системы и, в частности, исследовать ее статистические свойства. На рис. 1.14 изображена плоскость ( $u, \psi$ ) после 623000 итераций для $M=100$ и начальной скорости $u_{0} \approx 1$. Плоскость разделена на $200 \times$ і 00 ячеек ${ }^{1}$ ), причем в неотмеченные ячейки траектория не попадала. Видно, что на фазовой плоскости имеются три области: 1) область больших значений $u$, в которой преобладают инвариантные кривые, а узкие и ограниченные стохастические слои расположены только вблизи резонансных се-
1) Для $u \leqslant 25$, см. п. 3.46.- Прим. ред.

паратрис; 2) единая стохастическая область при промежуточных значениях $u$, в которой еще остаются островки устойчивости вокруг периодических траекторий, и 3) область стохастичности для малых $u$, в которой все первичные периодические траектории, повидимому, неустойчивы. В областях 2 и 3 имеет место сильная, или глобальная, стохастичность движения. В последней из них, несмотря на существование некоторых корреляций между последовательными значениями фазы $\psi$, можно использовать приближение хаотических фаз и диффузионное уравнение для скорости $u$. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 5 .
Эргодические системы. Подобно полностью интегрируемым системам, эргодические системы, в которых отсутствуют регулярные траектории, оказываются в некоторых отношениях более простыми,

Рис. 1.15. Два примера систем, обладающих эргодичностью и перемешиванием (по данным работы [14]).
$a$ – развертка тора, по которому движутся твердые диски, $\alpha=\beta ; 6$ – преобразование пекаря; перемешивание происходит в результате раскатывания, разрезания и складывания.

чем системы, близкие к интегрируемым. Хотя в эргодических системах и нельзя пользоваться понятием отдельных траекторий, но зато можно установить ряд общих статистических свойств. Примером такой системы может служить движение бильярдного шара, сталкивающегося с неподвижным диском (рис. 1.15, a). Траектория шара изображена сплошной линией со стрелками, указывающими направление движения. Отражения от диска происходят по обычному закону: угол падения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$. Движение считается пространственно периодическим по обоим направлениям. При этом можно считать, что траектория, проходящая через одну сторону ячейки периодичности, возвращается с противоположной стороны под тем же углом. Синай [377] показал, что эта система обладает и эргодичностью и перемешиванием. Она представляет интерес и для статистической механики [133].

Другим хрошо известным примером эргодической системы является «преобразование пекаря», которое отображает единичный квадрат на себя:
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
y_{1}
\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{c}
2 x_{0} \\
y_{0} / 2
\end{array}\right), \quad 0 \leqslant x_{0}<\frac{1}{2}, \\
\left(\begin{array}{c}
2 x_{0}-1 \\
\left(y_{0}+1\right) / 2
\end{array}\right), \quad \frac{1}{2} \leqslant x_{0}<1 .
\end{array}\right.
\]

Для наглядности используя знаменитого арнольдовского кота [14]находим, что это преобразование похоже, см. рис. 1.15, б, на дейст, вие пекаря, раскатывающего, разрезающего и складывающего свое тесто. Движение этой системы является неустойчивым и обладает свойством перемешивания.

Таким образом, имеются явные свидетельства в пользу статистических свойств отображений в областях неустойчивого движения. Что же касается более сильного предположения о возможности использовать приближение хаотических фаз, когда движение системы напоминает случайное блуждание в импульсном пространстве, то это зависит также от наличия существенно различных временных масштабов для перемешивания по фазе и по импульсу. Для многих динамических систем перемешивание по фазе происходит гораздо быстрее, чем по импульсу, что и позволяет ввести разные масштабы времени.