Обозначив для простоты $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=\Delta \boldsymbol{x}_{n}$ и $\overline{\boldsymbol{x}}=(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}})=\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}$, перепишем линеаризованное уравнение $M$-мерного отображения (3.3.3) в виде
\[
\overline{\boldsymbol{x}}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x},
\]

где А – матрица $M \times M$, не зависящая от $\boldsymbol{x}$. Предположим, что ранг матрицы равен $M$, следовательно, $\operatorname{det} \mathrm{A}
eq 0$. Собственным
1) По-видимому, имеются в виду скорее наглядные представления на основе рис. 3.3.- Прим. ред.
2) Это справедливо лишь при дополнительных условиях, в частности указанных в примечании авторов ниже (см. примечание редактора на с. 191).- Прим. ред.
3) Особыми случаями являются числа вращения $\alpha=1 / 3 ; 1 / 4$.

значением системы (3.3.4) является постоянная, входящая в уравнение
\[
\text { A. } x=\lambda x,
\]

так что некоторый вектор $\boldsymbol{x}$ остается неизменным с точностью до множителя. Из (3.3.5) следует, что $\lambda$ удовлетворяет характеристическому уравнению
\[
\operatorname{det}(A-\lambda I)=0,
\]

где I- единичная матрица. Это – алгебраическое уравнение $M$-го порядка, имеющее $M$ корней. Каждое собственное значение соответствует нормальной моде колебаний, или фундаментальному решению. Из (3.3.5) следует также, что для устойчивости колебаний $\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda^{n}$ должен быть ограничен ${ }^{1}$ ). Векторы $\boldsymbol{x}_{k}$, соответствующие значениям $\lambda_{k}$, называются собственными векторами, или нормальными колебаниями. Эти векторы можно найти, решая однородную систему уравнений
\[
\mathrm{B} \cdot \boldsymbol{x}_{k}=\sum_{j} b_{i j} x_{j k}=0,
\]

где $\mathrm{B}\left(\lambda_{k}\right)=\mathrm{A}-\lambda_{k} \mathbf{I}$. Если все собственные значения $\mathrm{A}$ различны, решение можно получить следующим образом. Перенесем члены с $j=l$ в правую часть уравнений (3.3.7) и опустим уравнение с $i=l$. Положим $x_{l k}=c_{k} B_{l l}$, где $c_{k}$ – произвольная постоянная, a $B_{l l}
eq 0$ – алгебраическое дополнение элемента $b_{l l}$ матрицы В. Получившуюся таким образом неоднородную систему $M-1$ уравнений решаем стандартным методом Крамера и получаем
\[
x_{j k}=c_{k} B_{t j} ; \quad j=1, \ldots ., M \text {. }
\]

Поскольку ранг матрицы В равен ( $M-1$ ), то по крайней мере одно $B_{l l}
eq 0$. В случае совпадающих собственных значений метод решения остается таким же, но некоторые из векторов $\boldsymbol{x}_{k}$ будут зависеть от нескольких произвольных постоянных.

Рассмотрим матрицу $\boldsymbol{X}$, столбцы которой составлены из компонент разных собственных векторов $\boldsymbol{x}_{k}$. Если, кроме того, все собственные значения различны ${ }^{2}$ ), то из (3.3.5) находим
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{X}=\mathbf{X} \cdot \boldsymbol{\Lambda} \text {, }
\]

где $\boldsymbol{\Lambda}$ – диагональная матрица с элементами $\Lambda_{i i}=\lambda_{i}$. Отсюда
\[
\mathbf{\Lambda}=\mathbf{X}^{-1} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{X},
\]
1) Это справедливо, вообще говоря, лишь в том случае, когда матрица А не зависит от $x_{0}$ (см. ниже п. 3.36, 3.3в, 5.26 и работу [55)].- Прим. ред.
${ }^{2}$ ) Случай совпадающих собственных значений см. в [13] или в любом учебнике по линей ной алгебре.

т. е. $\mathrm{X}$ диагонализует $\mathrm{A}$. Введем новые векторы
\[
\boldsymbol{u}_{k}=\mathrm{X}^{-1} \cdot \boldsymbol{x}_{k} ; \quad \boldsymbol{x}_{k}=\mathrm{X} \cdot \boldsymbol{u}_{k} .
\]

Из (3.3.5) получаем
\[
\boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{u}_{k}=\boldsymbol{\lambda}_{k} \boldsymbol{u}_{k},
\]
т. е. $\boldsymbol{u}_{k}$ являются собственными векторами матрицы $\boldsymbol{\Lambda}$ и из них можно образовать ортонормированный базис $\boldsymbol{e}_{k}$.
Симметрия собственных значений. Если преобразование, задаваемое $\mathrm{A}$, является каноническим, то $M$ равно четному числу $2 N$ и выполняются следующие соотношения для скобок Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
{\left[\bar{q}_{i}, \bar{q}_{j}\right]=\left[\bar{p}_{i}, \bar{p}_{i}\right]=0,} \\
{\left[\bar{q}_{i}, \bar{p}_{j}\right]=\delta_{i j}, \quad i, j=1, \ldots, N .}
\end{array}
\]

Введем $2 N$-мерную антисимметричную матрицу
\[
\boldsymbol{\Gamma}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\mathrm{I} \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]

каждый элемент которой есть блок $N \times N ; \quad \Gamma^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\Gamma}^{-1}=-\boldsymbol{\Gamma}$, (3.3.13) можно записать в виде
\[
\left[\overline{x_{i}}, \bar{x}_{j}\right]=\sum_{k, l} a_{i k} \Gamma_{k l} a_{i l}=\Gamma_{i j}
\]

где
\[
a_{i k}=\partial \bar{x}_{i} / \partial x_{k} .
\]

Из (3.3.15) следует, что в рассматриваемом случае не все элементы матрицы А независимы. В матричной форме имеем
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{A}^{\mathbf{r}}=\mathbf{\Gamma}
\]

или
\[
\mathbf{A}^{\mathbf{T}} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{A}=\mathbf{\Gamma} .
\]

Матрица, удовлетворяющая этому условию, называется симплектической.

Покажем, что если $\lambda$ – собственное значение матрицы А, то $1 / \lambda$ также является ее собственным значением. Поскольку собственные значения произвольной матрицы не изменяются при транспонировании, то из (3.3.5) имеем
\[
A^{\mathrm{T}} \cdot y=\lambda y,
\]

или
\[
\left(A^{T}\right)^{-1} \cdot y=\frac{1}{\lambda} \boldsymbol{y} .
\]

Из (3.3.17a) получаем
\[
A \cdot(\boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{y})=\frac{1}{\lambda}(\boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{y})
\]

Значит, $1 / \lambda$ тоже является собственным значением матрицы А с собственным вектором $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{y}$. Отсюда
\[
\lambda_{i+N}=\lambda_{i}^{-1}, \quad i=1, \ldots ., N .
\]

Рис. 3.8. Собственные значения симплектической матрицы.
Так как матрица А вещественная, то комплексные собственные значения появляются только в виде комплексно сопряженных пар. Еєли же $\lambda$ комплексная величина и $|\lambda|
eq 1$, то собственные значения образуют четверки:
\[
\lambda, \lambda^{*}, 1 / \lambda, 1 / \lambda^{*},
\]

симметричные относительно вещественной оси и единичной окружности (рис. 3.8). В случае $\operatorname{Im} \lambda=0$ собственные значения $\lambda, 1 / \lambda$ лежат на вещественной оси. При $|\lambda|
eq 1$ движение всегда неустойчиво. Если же $|\lambda|=1$, то собственные значения $\lambda$ и $\lambda^{*}=1 / \lambda$ лежат на единичной окружности и движение устойчиво.

Легко показать, что из симметрии собственных значений следует, что характеристическое уравнение (3.3.6) можно записать в виде
\[
\lambda^{N}+a_{1} \lambda^{N-1}+\cdots+a_{2 N-1} \lambda+1=0
\]

с симметричными коэффициентами:
\[
a_{1}=a_{2 N-1}, \quad a_{2}=a_{2 N-2}, . . .
\]

Итак, если все собственные значения различны, то для устойчивости движения необходимо, чтобы все они лежали на единичной окружности. В случае же кратных $\lambda$ вопрос об устойчивости более сложен (см. [13]). Вообще говоря, при этом имеет место так называемая пограничная устойчивость ${ }^{1}$ ).

Теперь мы покажем, что если матрица А симплектическая, то и матрицу $\mathbf{X}$ тоже можно представить в симплектической форме путем умножения ее столбцов на определенные константы $c_{k}$. Рассмотрим антисимметричную матрицу.
\[
\mathrm{S}=\mathbf{X} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{X}^{\mathrm{T}},
\]

элементы которой
\[
S_{i j}=\boldsymbol{x}_{i} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{j}^{\mathrm{T}} .
\]

Из выражений (3.3.9) и (3.3.24) получаем
\[
\mathbf{\Lambda} \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{\Lambda}^{\mathrm{T}}=\mathrm{S},
\]

или
\[
\lambda_{i} \lambda_{j} S_{i j}=S_{i j} .
\]

Значит, $S_{i j}
eq 0$, лишь если $\lambda_{i} \lambda_{j}=1$. Учитывая соотношение, (3.3.21), находим, что отличные от нуля элементы матрицы $\mathbf{S}$ удовлетворяют соотношениям
\[
S_{i_{\bullet}+N}=-S_{i_{+N} i}, \quad i=1, \ldots, N .
\]

Положив $S_{i, i+N}=-1$ и $\boldsymbol{x}_{i}=c_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{\prime}$, получаем из (3.3.25)
\[
c_{i} c_{i+N} \boldsymbol{x}_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{i+N}^{\prime}=-1 .
\]

Это уравнение позволяет определять, например $c_{i+N}$ по заданным $c_{i}$. Таким образом, $\mathbf{S}=\boldsymbol{\Gamma}$ по построению. Сравнивая (3.3.24) с (3.3.17a), видим, что матрица $\mathrm{X}$ симплектнческая. Так как $N$ постоянных $c_{i}$ можно выбрать произвольно, то построенная матрица $\mathbf{X}$ не единственная.

Используя (3.3.17б), можно показать, что $\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{2}$ инвариантно по отношению к симплектическому преобразованию $\overline{\boldsymbol{x}}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x}$, т. е.
\[
\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \boldsymbol{x}_{2}=\overline{\boldsymbol{x}}_{1}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \overline{\boldsymbol{x}}_{2} .
\]
1) Устойчивым является лишь глобальное (нелинейное) движение, в линейном же приближении по $\Delta x$ движение в этом случае неустойчиво, хотя $|\lambda|=1$ [см. (3.3.71) и рис. 5.5]. Эта неустойчивость существенна при численном определении перехода от регулярного движения к хаотическому.Прим. ред.

Это соотношение часто используется как определение симплектического преобразования. Положив $\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_{2}=\mathrm{A} \cdot \boldsymbol{x}$, найдем, что квадратичная форма
\[
Q=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \cdot \boldsymbol{\Gamma} \cdot \mathbf{A} \cdot \boldsymbol{x}
\]

является инвариантом отображения $\mathrm{A}$.
Только в случае двух степеней свободы, когда для $\lambda$ получается квадратное уравнение, собственные значения и собственные векторы можно легко найти в явном виде. Однако именно этот случай соответствует двумерным отображениям, которые занимают центральное место в нашем анализе нелинейных колебаний. Что касается большего числа степеней свободы, то аналитические решения здесь удается получить лишь в некоторых специальных случаях.